[ukr]із зовнішньої точки а до кола проведено дотичну ав і січну асd. ac: ав=2: 3. площа трикутника abc дорівнює 20. знайдіть площу трикутника авd.[rus]с внешней точки а в круг проведения касательную ав и сечение асd. ac: ав = 2: 3. площадь треугольника abc равна 20. найдите площадь треугольника авd8-9 клас, можна українською або російською)

[RUS] Из внешней точки А к

окружности проведены касательная АВ и секущая АСD. AC:АВ = 2:3. Площадь треугольника ABC равна 20. Найдите площадь треугольника АВD.

ответ: S(ABD) = 45.

Объяснение:

обозначим AC=2х; АВ=3х.

Теорема: квадрат длины касательной равен произведению длины секущей на ее внешнюю часть. АВ^2 = AD*AC

(3x)^2 = AD*2x

AD = 4.5x

Известно: площади треугольников, имеющих равные высоты, относятся как основания.

S(ABC) : S(ABD) = AC : AD

20 : S(ABD) = (2x) : (4.5x)

S(ABD) = 20*4.5/2 = 45

Дано: ΔABC - прямоугольный, ∠C = 90°, ∠ABC = 60°, AC = 6 см.

Найти: а) AB; б) CD

Решение: 1) Рассмотрим ΔABC: ∠ABC = 60°, ∠C = 90°, ∠A = 30° (т. к. 180° - (90° + 60°) = 30); Найдем сторону AB через синус угла ABC (синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе): sin60° = = = ; Отсюда AB = = см.

2) Рассмотрим ΔACD, в котором ∠D = 90°, а ∠CAD = 30° (из 1); Согласно свойству прямоугольного треугольника с углом в 30°, катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы, следовательно, CD = 1/2*AC = 1/2*6 = 3 см.

ответ: а) см; б) CD = 3 см.

Вписанные углы опирающиеся на диаметр равны по 90°, поэтому ∠ADC=90°=∠CBA.

Треугольник ADC - равнобедренный (DA=DC) и прямоугольный (∠ADC=90°), поэтому углы при его основании равны по 45°. ∠DAC=45°=∠DCA

Треугольник ABC - прямоугольный (∠CBA=90°), так же 2AB=AC. Угол лежащий напротив катета, который вдвое меньше гипотенузы равен 30°, поэтому ∠BCA=30°. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике составляет 90°, поэтому ∠BАС=60°.

∠BAD = ∠BAC+∠DAC = 60°+45° = 105°

∠BCD = ∠BCA+∠DCA = 30°+45° = 75°

ответ: ∠BAD=105°; ∠BСD=75°.