Около трапеции описана окружность . периметр которой равен 108 см а средняя линия 27 см . найдите боковые стороны трапеции

Дано:
Окружность описана около трапеции;
Р тр = 108 см;
ср.линия тр. = 27 см
Найти: боковые стороны трапеции.
Решение:
1) Периметр трапеции складывается из суммы оснований и боковых сторон.
2) Ср. линия трапеции равна полусумме оснований. Значит, сумма оснований равна двум средним линиям, тогда:  
27 * 2 =54 (см) сумма оснований трапеции.
3) 108 - 54 = 54 (см) сумма боковых сторон трапеции.
4) Если около трапеции описали окружность, то эта трапеция равнобедренная, т.е. имеет равные стороны.
54 : 2 =27 (см) каждая боковая сторона
ответ: 27 см длина каждой из боковых сторон.

Дана трапеция АВСД, ВС = 4 см, АД = 6 см. ВД = 5 см, АС = 6 см.

Проведём отрезок СЕ, равный и параллельный диагонали ВД.

Получим треугольник АСЕ со сторонами 5, 6 и 10 см.

cos (AEC) = (100 + 36 - 25)/(2*10*6) = 111/120 = 37/40.

Угол АЕС = arc cos(37/40) = 22,33165°.

Так как угол АЕС равен углу АДВ, то в равнобедренном треугольнике АВД острый угол трапеции ДАВ равен:

∠ДАВ = (180 - 22,33165)/2 = 78,83418°.

Находим сторону трапеции СД = √(36 + 16 - 2*6*4*(37/40)) = √7,6.

Теперь можно определить угол СДА.

cos(CDA) = (36 + 7.6 - 25)/(2*6*√7,6) = 18,6/(12√7,6) = 1,55√7,6 ≈ 0,562244.

Угол (СДА) = arc cos(1,55√7,6) ≈ 0,9737 радиан или 55,7889 градуса.

    По условию три угла четырехугольника ABCD равны по 82°. Из суммы углов четырехугольника четвёртый угол D=360°-3•82°=114°

 Из вершины D проведем DE параллельно ВС. Т.к. углы В и С равны по условию, а DE║ВС по построению, четырехугольник ВЕDC- равнобедренная трапеция и ВЕ=СD, что  соответствует условию.

 В ∆ АЕD ∠АЕD=∠В=82° как соответственные углы при  пересечении параллельных ВС и ЕD секущей ВE.

  В треугольнике АЕD. углы при АЕ равны, ⇒ он равнобедренный,  ⇒ . Угол АDE=180°-2•82°=16°. Отсюда следует  ED=АD=DC

 По равенству боковых сторон  ∆ ЕDC равнобедренный,⇒ углы при его основании ЕС равны.  

  В равнобедренном ∆ ЕDC угол ЕDC =114°-16°=98°, а ∠DCE=DEC=98°:2=49° Искомый ∠ВСЕ=∠BCD-∠DCE=82°-49°=33°