Периметр равнобедренного треугольника равен 42 см, боковая сторона на 6 см больше основания. найдите основание.

Периметр треугольника P = 2a+b , где а - сторона, b - основание.
По условию a=b+6;
P = 2(b+6) + b
P = 2b+12+b
P=3b+12
42-12=3b
b=10. Основание 10 см.

Один решения задачи дан в предыдущем решении.
Вариант решения 1)
Высота равнобедренной трапеции, проведенная из тупого угла, делит большее основание на отрезки, один из которых равен полусумме оснований, другой - их полуразности. 
В трапеции АВСД отрезок АН равен полусумме оснований, т.е равен средней линии. 
В прямоугольном треугольнике АСН катет АН=12 см. СН=5 см,
 АС как гипотенуза треугольника из троек Пифагора равна 13 см. 
Проверим:
АС=√(12²+5²) =13 см
----
Вариант решения 2)
Диагонали равнобедренной трапеции равны. 
Если из вершины С провести прямую, параллельную диагонали ВД до пересечения с продолжением АД в точке К, получим равнобедренный треугольник АСК
ВСКД- параллелограмм, ДК=ВС
АК=АД+ВС=12*2=24,
СН высота и медиана треугольника АСК. 
АН=24:2=12
Из Δ АСН по т. Пифагора (см.выше)  АС=13

1) Рассмотрим сечение, проходящее через центры сфер. 

 Отрезок, соединяющий центры, перпендикулярен диаметру сечения. Точкой пересечения они делятся пополам и образуют прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12. Гипотенуза этого треугольника - искомый радиус. Треугольник с катетами 5 и 12 из Пифагоровых троек (прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами), следовательно, R=13 (можно решить по т.Пифагора с тем же результатом). 

           * * *

2) Центр шара, вписанного в двугранный угол, равноудален от его сторон, и, следовательно, лежит на биссекторной плоскости, т.е. на плоскости, делящей этот двугранный угол пополам. 

Искомое расстояние - диагональ  квадрата со сторонами, равными радиусу шара ( биссектриса СО его прямого угла - см. рисунок), 

СО=r:sin45°=√2