1. в треугольнике cde 2. две стороны треугольника равны 5 см и 7 см, а угол между ними равен 60°. найдите третью сторону треугольника. 3. определите вид треугольника abc, если его стороны равны 12; 5; 13 единиц. 4. перпендикулярны ли векторы a{-6; 9} и b{6; 4}?

Сингулярнность это самая лучшая в мире  дыра 123

Из прямоугольных ∆ СВВ1 и  ∆САА1 с общим острым углом С

  cos C=В1С:ВС=А1С:АС

По первой лемме о высотах –  

(Если в треугольнике ABC нет прямого угла, AA1 и BB1 – его высоты, то ∆ А1В1С подобен ∆ ABC., т.е.  если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному)⇒

   ∆ А1В1С подобен ∆ АВС. 

Случай 1) 

∆ АВС остроугольный. Из подобия треугольников следует отношение: 

А1B1:АB=В1С:ВС=cosC

cosC= 2√3:4=√3/2 ⇒ угол С=30°

2) 

 ∆АВС тупоугольный и  угол С >90°: 

по первой лемме о высотах ∆ А1В1С подобен ∆ АВС.  

Косинус угла, смежного с углом С, равен

А1С:АС=В1С:ВС=cos ACA1 

cos ACA1=А1В1:АВ=2√3:4=√3/2, угол АСА1=30°, ⇒ 

угол С=180°-30°=150°

Таким же образом находится величина острого угла С в тупоугольном ∆ АВС, где тупой угол – ∠А или ∠В. 

————————————

3) Можно угол С найти по т.синусов.  

Так как. ∆АВВ1 и АА1В1 прямоугольные с общей гипотенузой АВ, можно провести окружность около четырехугольника АВА1В1. Треугольник АВВ1 - вписанный. 

По т. синусов

2R=AB=4 ⇒

.  Это синус 60°, и тогда 

угол С=30°. 

Этот решения применим и в случае тупоугольного ∆ АВС. 

" Основой прямой призмы является равнобедренный треугольник с углом a при основании и радиусом вписанной окружности r. Диагональ боковой грани, проходящей через основание равнобедренного треугольника, наклонена к плоскости основания под углом y . Отметьте, какие из приведенных четырех утверждений правильные

1. Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и уентр круга, вписанного в основание, делит двугранный угол при боковом ребре призмы пополам

2. Боковое ребро призмы равна 2r*ctg*a/2*tgy

3. Одна из сторон основания призмы равна r*ctg*a/2

4. Один из двугранных углов при боковом ребре призмы равна a"

Объяснение:

1) Т.к. центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис, то плоскостью, проходящей через боковое ребро призмы и центр круга, вписанного в основание, будет плоскость АКК₁А₁ , где  АК, А₁К₁-биссектрисы нижнего и верхнего оснований.

Поэтому 1 утверждение верное.

2) Боковое ребро найдем из ΔАСС₁ -прямоугольного :  СС₁=АС*tgy.

АС найдем из ΔАОН  :

                    ΔАВС-равнобедренный. В равнобедренном    

                    треугольнике биссектриса ВН является высотой и    

                    медианой .АК-биссектриса, значит ∠ОАН=α/2 .

                   АН= r /(tgα/2 )  , 2АН=АС= =2r*ctg α/2  .

Получаем    СС₁=2r*ctg α/2  *tgy.      

Поэтому 2 утверждение верное.      

3) 3 утверждение неверное , т.к. в п 2 найдена сторона основания АС=2r*ctg α/2   . а боковая сторона будет искаться через косинус или синус ΔАВН.

4)4 утверждение верное . Это двугранный угол , например САА₁В, т.к

АА₁⊥АС и АА₁⊥АВ и ∠ВАС=α