1. все стороны квадрата, равные 10 см, касаются сферы. найти радиус сферы, если расстояние от центра сферы до плоскости квадрата равно 12 см. 2. стороны треугольника, лежащая против угла в 60 градусов, равна 3√3см. вершины треугольника принадлежат сфере. найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 5 см.

1) 10÷2=5; по теореме пифагора 5^2 + 12^2 =25+144=169; R=13.

представим треугольник АСБ, АБ катет, который равен 4+5=9. Биссектриса вроде делит угол пополам из чего выходит, что угол АСН равен 45, так же и угол БСН равен 45. Угол АНС равен 90, тк это биссектриса => угол БНС равен также 90. Угол А = 180-(90+45) = 45, тоже самое с углом С. У нас выходит два равнобедреденных треугольника (в тр АСН углы А и АСН равны 45) из чего выходит, что сторона АН равна биссектрисе т.е 4. Второй рб треугольник это СНБ (углы Б и БСН равны 45)... КОРОЧЕ НЕПРАВИЛЬНО, но если тебе нужно что бы хоть что-то было, то напиши это

Биссектриса делит катет на отрезки 4см и 5 см, значит весь катет равен 9 см. По свойству биссектрисы она делит сторону треугольника пропорционально соответствующим сторонам. Пусть коэффициет пропорциональности равен х (х>0), тогда катет равен 4х, а гипотенуза 5х. По теореме Пифагора (5х)² = (4х)² + 9²
25 х² = 16х² + 81
9х² = 81
х² = 9
х = 3
Значит второй катет равен 4 * 3 = 12
а гипотенуза 5 * 3 = 15
Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы
R = 15 : 2 = 7,5см
2) Предположим, что проекция катета равного 4 см на гипотенузу равна х см, тогда по соотношениям в прямоугольном треугольнике
4² = х * (х +6), получим квадратное уравнение
х² + 6х - 16 = 0. по теореме обратной к теореме Виета. Получим корни
 х₁ = 2   и х₂ = -8(второй корень не подходит по условию задачи).
Значит гипотенуза равна 2 +6 = 8 см, а высота h² = 2 * 6 = 12
h = √12 = 2√3cм