Как равносторонний треугольник разрезать на 3 равносторонних треуголиника

Провести прямую линию к основанию от каждого угла, т. е. биссектрису

Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в 45° - следовательно, все ребра равны, а их проекции равны радиусу описанной около основания пирамиды окружности, Основание высоты пирамиды - центр О описанной окружности. . Величина её радиуса АО равна 2/3 высоты основания. 

AH=AB•sin60°=4√3/2=2√3

Высота МО перпендикулярна основанию

∆АМО - прямоугольный, острый угол МАО=45°, следовательно, второй АМО=45°, и высота пирамиды МО=АО=4/√3

Формула объёма пирамиды  V=S•h:3

S(∆ABC)=AB²•√3/4=16√3/4=4√3

Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки А до сторон угла равны a и b. Найдите расстояние от точки А до вершины угла.

Расстояние от точки до прямой равно длине отрезка, проведенного перпендикулярно от точки к прямой. 

Обозначим  вершину угла В , расстояние от А до одной стороны АС=а, расстояние до другой стороны АD=b. 

 Сумма ∠С+∠D=2•90°=180° 

Сумма углов четырехугольника 360°. ⇒∠ В+∡А=180° 

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°, его можно вписать в окружность. 

Опишем эту окружность. Искомое расстояние - её диаметр, т.к. на АВ опираются вписанные углы, равные 90°

Соединим С и D.

Вершины ∆ АСD лежат на окружности, он - вписан в эту окружность. 

Диаметр описанной около треугольника окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла. 

Угол САD=180°-60°=120°

По т.косинусов СD²=AC²+AD²-2•AC•AD•cos120°

CD²=a²+b²-2ab•(-1/2)=a²+b²+ab

По т.синусов АВ=2R=CD:sin120°