Величина двугранного угла равна φ.из точки а, лежащей в одной из граней, опущен перпендикуляр ab до другой грани этого двугранного угла.найдите расстояние от точки а до ребра двугранного угла если: 1)φ=30градусов; ab=5см 2)φ=45 градусов; ab=3√2 дм 3)φ=60 градусов ab=2√3м

Проведём перпендикуляры АС и ВС к ребру двугранного угла. ∠АСВ=φ.
В прямоугольном треугольнике АВС АС - гипотенуза.
sinφ=АВ/АС, АС=АВ/sinφ. 
1) АС=5/sin30=5/0.5=10 см.
2) АС=3√2/sin45=3√2/(√2/2)=6 дм.
3) АС=2√3/sin60=2√3/(√3/2)=4 м.

2) Пусть дан треугольник АВС: АВ=ВС, Обозначим АВ=ВС= 5х, тогда высота    ВК= 4х.
АК=КВ=6 см
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВК: (5х)²=(4х)²+6²
25х²-16х²=36, 9х²=36,х²=4,х=2
Значит АВ=ВС=10 см.
Р=АВ+ВС+АС=10+10+12=32 см.

1) Пусть дан треугольник АВС:
 АВ=ВС,
 

Обозначим АС=2х, тогда АВ=ВС=(128-2х):2=64-х
АК=ВК=х
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВК:
АВ²=АК²+ВК²,
(64-х)²=х²+32²,
128х=64²-32²,
128х=(64-32)·(64+32),
128х=32·96,
4х=96,
х=24,
значит АС=48 см, АВ=ВС=(128-48)/2=40
ответ. стороны треугольника 40, 40, 48

На чертеже точки касания N и N1 изображены совпадающими, но это еще надо доказать. Поэтому СНАЧАЛА я не считаю их совпадающими. То есть окружность O1 касается AC в точке N, а окружность O2 - в точке N1 (слова "с центром" дальше буду опускать, если и так ясно).
Для треугольника ABC точки касания с O1 делят стороны на три отрезка AN, CN и еще один (точнее, два равных) из вершины B. Я обозначу его например буквой x.
Тогда очевидно
AN + CN = AC;
AN + x = AB;
CN + x = BC;
Если вычесть из второго третье, получится AN - CN = AB - BC; если теперь сложить это с первым, то 
AN = (AC + AB - BC)/2;
Точно так же для треугольника ACD получается 
AN1 = (AC + AD - CD)/2; и нигде не предполагается, что AN = AN1; это надо доказать.
Весь четырехугольник ABCD является ОПИСАННЫМ, то есть AD + BC = AB + CD;
или AD - CD = AB - BC; или AC + AD - CD = AC + AB - BC; то есть AN = AN1, и точки N и N1 совпадают, это просто одна точка N. 
Последствия этого очень велики. :) Окружности O1 и O2 касаются, AC является общей касательной, проведенной в точке касания N окружностей O1 и O2, и линия центров O1O2 перпендикулярна AC. 
Важно! - пока нигде не использовано, что ABCD - трапеция! Этот результат справедлив для любого выпуклого описанного четырехугольника.
Поэтому (см. чертеж) ∠KO1O2 = ∠CAD (стороны углов перпендикулярны), и треугольники KO1O2 и ACP подобны. CP - высота трапеции. Она равна
CP = 2R = 40; 
сумма радиусов окружностей равна O1O2 = 25; отсюда легко найти KO1 = 40 - 25 = 15; получился "египетский" треугольник :) то есть KO2 = 20;
Ну, и из подобия KO1O2 и ACP AC = 50 (поскольку СP = 2*KO2  :) )