На продолжении стороны bc треугольника abc за точку с выбрана точка a1, на продолжении стороны ас за точку а - точка в1, на продолжении стороны ав за точку в - точка с1. найдите отношение площади треугольника а1в1с1 к площади треугольника авс, если |а1с|: |св|=|в1а|: |ас|=|с1в|: |ва|=2: 3

Высоты из вершин A1 и C к прямой AB относятся как 5/3

(Высоты параллельны и отсекают от сторон угла подобные треугольники.)

Основания C1B и AB относятся как 2/3

Площади A1BC1 и ABC относятся как 5/3 *2/3 =10/9

Аналогично площади треугольников C1AB1 и B1CA1 составляют 10/9 от площади ABC.

S_A1B1C1 =S_ABC +3*10/9 S_ABC =13/3 S_ABC

Найдите отношение объёма октаэдра к объёму куба, вершинами которого являются центры граней октаэдра.

Объяснение:

1) Октаэдр это геометрическое тело из восьми граней, каждая их которых - правильный треугольник.  Пусть ребро октаэдра а.

V( октаэдра)=1/3*√2*а³ , ABCD-квадрат .

2) Пусть Р-центр правильного ΔАВМ .Тогда М-точка пересечения медиан .Тогда по т. о точке пересечения медиан   ⇒ .

3) Аналогично для правильного ΔDCМ ⇒    .

4) ΔМРК подобен ΔМXY по 2-м пропорциональным сторонам ( см п. 2,3) и равному углу между этими сторонами (∠РМК-общий).

Тогда  ,  ,РК= *а  .

5) V( куба)=( *а)³ = *а³ .  Тогда отношение объёмов будет равно :

= .

Площадь трапеции равна произведению полусумма оснований на высоту

Номер 1

Прямоугольная трапеция,высота отсекает равнобедренный треугольник,поэтому АК=ВК=8

По условию задачи,АК=КD,следовательно

АD=8•2=16

S=(8+16):2•8=24:2•8=12•8=96 ед.в квадрате

Номер 2

Высота DM отсекла прямоугольный равнобедренный треугольник,где

DM=MA=25-14=11

S=(14+25):2•11=214,5 ед в квадрате

Номер 3

Трапеция равнобедренная по условию задачи

Треугольник АВЕ прямоугольный равнобедренный

АЕ=ВЕ=4

Если опустить высоту из точки С ,то получится точно такой же треугольник и DC1=4

S=(5+13):2•4=36 ед в квадрате

Номер 4

Высота ВМ отсекла прямоугольный треугольник,<А=30 градусов,а значит катет ВМ( он же высота трапеции) равен половине гипотенузы

ВМ=10:2=5

S=(4+15):2•5=19:2•5=9,5•5=47,5 eд в квадрате

Объяснение: