В окружность вписан правильный 12-угольник A1A2A3...A12 Прямые (A1A5) и (A6A8) пересекаются в точке M. Найти величину угла A1MA8

В равнобедренном треугольнике биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AA1,BB1,CC1. Точка O является точкой пересечения биссектрис AA1 и CC1. Так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, BB1 проходит через точку O. Так как биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают, BB1 - высота. Тогда BB1 перпендикулярна AC. Так как точка O лежит на отрезке BB1, прямая BO и прямая BB1 совпадают (это одна и та же прямая, которую можно назвать по-разному). Значит, прямая BO перпендикулярна AC, что и требовалось доказать. 

Дано : Δ АВС - равнобедренный
∠В = 112 ° -  внешний угол при вершине В
Найти   углы  ΔАВС  :  ∠АВС -? , ∠ВСА -? , ∠ВАС-?
Решение.
Рассмотрим Δ АВС :
АВ= ВС  (  боковые стороны )
∠ВАС = ∠ВСА  = х ( углы при основании АС)
Внешний угол треугольника равен сумме двух углов не смежных с ним, следовательно :
∠ВАС = ∠ВСА = ∠В : 2   ⇒   ∠ВАС = ∠ВСА = 112 : 2 = 56°
Внешний ∠В   и ∠АВС -  смежные углы .
Сумма смежных углов  равна  180°
∠АВС = 180  -  ∠В   => ∠АВС = 180 - 112 = 68° 

ответ:  ∠ ВАС = ∠ВСА = 56°
             ∠АВС = 68°

Подробнее - на -