Вычислите площадь прямоугольника, меньшая сторона которого равна 5 см, а диагональ 13 см

По теореме Пифагора можно найти вторую сторону прямоугольника

Площадь=12*5=60

плоскость-сечение ---равнобокая трапеция BDF1G1

расстояние от точки до плоскости ---перпендикуляр => нужно построить плоскость, перпендикулярную трапеции...

это будет диагональное сечение куба A1ACC1 ---прямоугольник...

искомое расстояние А1Н

обозначим ребро куба (а)

треугольники A1E1H и EE1G подобны (они прямоугольные по построению,

углы A1E1H и GEE1 равны как накрестлежащие при параллельных прямых АС и А1С1 и секущей ЕЕ1) => А1Н / Е1G = А1Е1 / ЕЕ1

А1Н = Е1G * А1Е1 / ЕЕ1

Е1G = СС1 = а

А1Е1 = (3/4) * А1С1 (диагонали основания-квадрата перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, треугольники D1B1C1 и F1G1C1 подобны с коэффициентом подобия 2 / 1 => С1Е1 = С1А1 / 4 )

по т.Пифагора А1С1 = а*V2

А1Е1 = 3а*V2 / 4

ЕЕ1 ---высота трапеции с бОльшим основанием = а*V2,

меньшим основанием = а*V2 / 2 (средняя линия треугольника D1B1C1), 

боковой стороной = корень(a^2 + (a/2)^2) = a*V5 / 2 (по т.Пифагора) 

по т.Пифагора ЕЕ1^2 = (a*V5 / 2)^2 - ((а*V2 - а*V2 / 2)/2)^2 = 5a^2 / 4 - a^2 / 8 = 9a^2 / 8

ЕЕ1 = 3а / (2*V2) = 3a*V2 / 4

получилось, что ЕЕ1 = А1Е1 =>

А1Н = E1G = а

A1H = 2

как-то так...

Цитата: "Правильная треугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный треугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины. Только в правильном треугольнике совпадают точки пересечения медиан, биссектрис, высот, серединных перпендикуляров. Эта точка  называется центром правильного треугольника. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении 2:1, считая от вершины."

Объем правильной треугольной пирамиды равен 1/3*Sосн*H, где Sосн - площадь правильного треугольника равная Sосн=(√3)а²/4 = (√3)16/4. = 4√3.  H - высота пирамиды - перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды в центр основания.

Найдем высоту пирамиды.

Сначала найдем высоту основания по формуле h=(√3)a/2 = (√3)*4/2 = 2√3см.

Отрезок этой высоты от основания ребра до центра треугольника равна (2√3):3*2 =(4√3)/3см. Имеем прямоугольный треугольник, где гипотенуза - ребро пирамиды, один из катетов - высота пирамиды H, а другой катет - только чио найденный отрезок.

В этом тр-ке против угла 30 лежит катет, равный половине гипотенузы. Зная, что гипотенуза равна (8√3)/3, а катет равен (4√3)/3, по Пифагору находим второй катет (Н):

Н=√16 = 4см.

Искомый объем равен 1/3*Sосн*H = 1/3*(4√3)*4 =(16√3)/3 ≈ 9,24см³