Прямые ac и bd пересекаются в точке h, а прямые ab и cd параллельны. градусные меры углов hab и hba треугольника abh относятся как 5: 7. сумма градусных мер углов треугольника cdh, прилежащих к стороне cd, равна 114 градусов. найдите разность градусных мер углов hdc и hcd

∠НАВ=∠HСД и ∠НВА=∠НДС так как АВ║СД и прямые АС и ВД - их секущие.
∠HCД+∠НДС=114°, ∠HСД : ∠НДС=∠НАВ : ∠НВА=5 : 7=5х : 7х.
∠HCД+∠НДС=5х+7х=114°,
12х=114,
х=9.5°.
∠НДС-∠НСД=7х-5х=2х=2·9.5=19° - это ответ.

Задача 1.

Основание прямой призмы - ромб со стороной 5 см. и тупым углом 120°

. Боковая поверхность призмы имеет площадь 240  см².

Найдите площадь сечения призмы, проходящего через боковое ребро и меньшую диагональ основания.

-------------

Ребра прямой призмы перпендикулярны плоскости оснований, следовательно,  перпендикулярны сторонам и диагоналям оснований.⇒
Диагональное сечение является прямоугольником.

Сумма углов четырехугольника 360°.

Острый угол ромба равен (360°-2•120°):2=60° 

Диагональ  ромба делит его на два равных равнобедренных треугольника. Если угол при вершине такого треугольника 60°, – этот треугольник равносторонний. Поэтому меньшая диагональ ромба равна его стороне - 5 см.

Площадь боковой поверхности данной призмы - сумма площадей четырех равных прямоугольников. 

Площадь каждого - 240:4=60 см²

Стороны диагонального сечения равны сторонам боковых граней. Сечение равно боковой грани. 

Следовательно, его площадь равна площади боковой грани - 60 см² 

-----------------------------------------------

Задача 2.
Через вершину A прямоугольника ABCD проведена прямая AK, перпендикулярная к плоскости прямоугольника.

Известно, что KD = 6 см, KB = 7 см, KC = 9 см.

Найдите расстояние от точки K до плоскости прямоугольника ABCD.

Сделаем рисунок.
Искомое расстояние - это длина отрезка ( перпендикуляра) КA.
КD ⊥ DC, так как проекция наклонной КD ⊥ DC
Из прямоугольного треугольника КDС по теореме Пифагора найдем длину стороны DC прямоугольника АВСD
DC²=45
DC=АВ
АК=√(КВ²- АВ²)=√(49-45)=√4=2

--------------------------------

 Задача 3.

Основание пирамиды - прямоугольник со сторонами 12 см и 16 см.

Все боковые рёбра пирамиды равны 26 см.
1) Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.
2) Найдите высоту пирамиды.

1)
Сделаем рисунок.

Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.
Так как все боковые ребра пирамиды равны между собой, их проекции на плоскость основания также равны между собой и соединяются в точке О пересечения диагоналей АС и ВD  основания пирамиды. ⇒ 

Вершина пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания.

2)

Высоту пирамиды найдем из любого треугольника, образованного высотой пирамиды, половиной ее диагонали и боковым ребром.
Пусть это будет треугольник АSO.
SO²=AS²-AO²
АО - половина диагонали прямоугольника АВСD.

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС
АО=1/2√(АВ²+ВС²) =1/2√(144+256)=10 см
SO²=26²-10²=676-100
SO=√576=24 см
ответ: Высота пирамиды равна 24 см

 

Углы треугольника составляют 40, 60 и 80 градусов (т.к. 2х+3х+4х=180 => 9x=180 => x=20). 
Пусть вершины треугольника обозначены АВС, центр окружности - О. Отрезок ОА является биссектрисой угла ВАС, ОВ делит пополам АВС, и ОС - соответственно ВСА. Поэтому угол ОАВ=20=ОАС, ОВС=ОВА=30, ОСА=ОСВ=40. 

Угол АОВ (под ним видна сторона АВ) равен 130. (АОВ=180-ОАВ-ОВА=180-20-30)
Угол АОС (под ним видно сторона АС) равен 120. (АОС=180-ОАС-ОСА=180-20-40)
Угол ВОС (под ним видна сторона ВС) равен 110. (АОВ=180-ОВС-ОСВ=180-30-40)