9класс дан правильный треугольник. в него вписан круг радиуса 1. другой круг, меньшего радиуса касается данного круга и двух сторон треугольника. найдите площадь меньшего круга. (в ответах π(пи)/9)

В правильном треугольнике радиус вписанной окружности равен одной трети высоты, значит диаметр равен: d=2r/3=2/3. h=3r=3.
Проведём касательную параллельно основанию, как показано на рисунке. Полученный треугольник правильный. В него и вписана вторая окружность. 
Высота этого тр-ка h₁=h-d=3r-2r/3=r=1.
Радиус малого тр-ка: r₁=h₁/3=1/3.
Площадь малой окружности: S₁=πr₁²=π/9 - это ответ.

Рассмотрим множество треугольников, у которых две вершины расположены на диагонали маленького квадрата (на исходном рисунке в условии), а третья лежит на прямой, содержащей диагональ большого квадрата (см. мой рисунок). Заметим, что площади треугольников, входящих в это множество, попарно равны. Действительно, у всех треугольников общая сторона — диагональ малого квадрата, высоты, падающие на эту диагональ тоже равны, поскольку a ║ b.

Значит, площадь серого треугольника равна площади треугольника, указанного на моем рисунке. Площадь среднего квадрата равна 80. Теперь осталось следить за руками: (80+20+20)-40-10-60/2=70-30=40. Площадь равна 40.

Проводишь высоту ВМ. Угол АВМ - 30 градусов.Поскольку у ромба противоположные стороны параллельны, то высота ВМ перпендикулярна и стороне ВС, значит Угол МВС = 90, тогда угол АВС = 90 - 30 = 60. Треугольник АВС равнобедренный, так как АВ = ВС как стороны ромба. Значит угол ВАС = ВСА. АС основание., но поскольку угол при вершине равен 60 градусов, то треуг. АВС равносторонний. Следовательно, АВ = АС = 6 см. 
Теперь Рассмотрим треуг. АМВ. Он прямоугольный, АВ гипотенуза. Известно, что в прямоугольном треуг-ке напротив угла в 30 градусов лежит катет вдвое меньше гипотенузы, т.е АМ = 3 см.