Чи можуть усі кути опуклого чотирикутника бути гострими; тупими; прямими?

гострими або тупими - ні, бо сума кутів чотрикутника дорівнює 360 градусів, а сума чотрирьох гострих кутів менша за 360, а тупих - більша.

Прямими можуть - квадрат, прямокутник.

Из центра квадрата O проведем перпендикуляр OK к стороне CD.

Соединим точки S и K отрезком SK.

Т.к. по условию SO ⊥ ABCD, то SO ⊥ CD и OK является проекцией наклонной SK на плоскость ABCD. По построению OK ⊥ CD ⇒ по теореме о трех перпендикулярах SK ⊥ CD.

Следовательно ∠SKO будет двугранным углом при ребре CD и ∠SKO = 60°

Из прямоугольного ΔSKO:

Найдем сторону квадрата. Т.к. точка O середина квадрата, то она является точкой пересечения диагоналей квадрата. Проведем диагональ AC и рассмотрим ΔACD.

OK ⊥ CD, AD ⊥ CD ⇒ OK ║ AD. Точка O - середина стороны AC ⇒ OK - средняя линия ΔACD.

AD = 2 * OK = 2 * 3 = 6

ответ: Сторона квадрата равна 6

По условию точка равноудалена от всех вершин треугольника, =>эта точка проектируется в центр треугольника- центр вписанной окружности.
радиус вписанной в треугольник окружности: R=S/p, p-полупериметр
Р=13+14+15=42 см, р=42/2=21 см
SΔ=√(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)
SΔ=√21*(21-13)*(21-14)*(21-15)=84 см²
r=84/21=4 см
прямоугольный Δ: катет =1 см, расстояние от точки до плоскости Δ, катет =4 см -радиус вписанной окружности, гипотенуза  с -расстояние от точки до вершины Δ, найти. по т. Пифагора: с²=1²+4²,
 с=√17 см