1. діагоналі ромба дорівнюють 12 см і 16 см. точка м, знаходиться поза площиною ромба і віддалена від усіх сторін ромба на 8 см. знайдіть відстань від точки м до площини ромба.

Пусть M и N, это середины оснований BC и AD равнобедренной трапеции ABCD с перпендикулярными диагоналями AC и BD, K и L — середины боковых сторон AB и CD. Тогда
KM || AC || LN, ML || BD || KN,
поэтому четырехугольник KMLN — прямоугольник. Значит, KL = MN, но KL — средняя линия трапеции, а MN — высота.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
Доказательство
Пусть ABCD – данная трапеция. Проведем через вершину B и середину N боковой стороны CD прямую, пересекающую прямую AD в точке F .
Треугольники BCN и FDN равны по теореме 4.2, так как CN = ND, BCN = NDF как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ( BC ) и ( AD ) и секущей ( CD ). CNB = DNF как вертикальные. Из равенства треугольников следует равенство сторон: BN = NF, BC = DF . Средняя линия трапеции MN является средней линией треугольника ABF и по теореме 4.12 ( MN ) || ( AD ) || ( BC ) и Теорема доказана.

ответ: 2*sqrt(5). Пояснение: Выразим косинус угла между прямыми BA1  и BA2, при теоремы косинусов.Обозначим BA1=a , BA2=b , α=угол между BA1  и BA2 ,

тогда cos(α)=(a^2+b^2-64)/(2*a*b). После этого нужно выразить а и b через x. Для этого тоже воспользуемся теоремой косинусов (рассматривая треугольники BHA1 и BHA2 соответственно). Получим a^2=x^2-2*x+4 , b^2= x^2-10*x+100 . Эти значения подставим в выражение для косинуса альфы. Теперь подумаем, когда угол между прямыми максимальный? ответ: когда косинус принимает минимальное значение.

Теперь у нас есть выражение для  cos(α) зависящее только от x ,и для получения ответа, нам нужно найти минимум этого выражения, то есть такой х , что выражение cos(α) минимально.