Найти высоту прямоугольного треугольника , проведённую из вершины прямого угла , если она делит гипотенузу на отрезки 12 см и 27 см.

H^2+12^2+h^2+27^2=(12+27)^2
2h^2=648
h=18

А: Площадь основания So = a*h/2, где a - основание треугольника - по условию 4 см, h - высота правильного треугольника h = a*корень(3)/2 = 2*корень(3). Таким образом, искомая площадь основания So = 4*2*корень(3)/2 = 4*корень(3) или примерно 7 см2

Б: Площадь боковой пов. Sб = 3*a*p/2, где a*p/2 - площадь одной боковой треугольной грани, a - основание треугольника (4 см), p - высота треугольника (апофема = 8 см). Искомая площадь Sб = 3*4*8/2 = 48 см2

В: Объем пирамиды V = h*So/3, где h - высота пирамиды (6 см), So - уже найденная площадь ее основания (4*корень(3) см). Искомый объем V = 6*4*корень(3) = 24*корень(3) или примерно 41.5 см3

1. A (3;2;1) B (1;2;3) и CD {1;1;1}
а) координаты вектора АВ
АВх = 1 - 3 = -2 ; АВу = 2 - 2 = 0; АВz = 3 - 1 = 2
АВ {-2; 0; 2}
б) ICDI = √(1² + 1² + 1²) = √3
в) u = AB - CD
ux = -2 - 1 = - 3; uy = 0 - 1 = -1; uz = 2 - 1 =  1
u {-3; -1; 1 }
2. w = -3a + 2b, если a{-3;-2;-1} b{1;2;-4}
-3a {9; 6; 3}    2b {2; 4; -8}
wx = 9 + 2 = 11; wy = 6 + 4 = 10; wz = 3 - 8 = -5
w{11; 10; -5}
3. A(0;1;-1) B(1;-1;2) C (3;1;0)
АВ{1; -2; 3 };   IABI = √(1² + 2² + 3³) = √14
BC{ 2; -2; -2}   IBCI = √(2² + 2² + 2²) = √12
AC{3; 0; 1}      IACI = √(3² + 1²) = √10
По теореме косинусов
ВС² = АВ² + АС² - 2АВ · АС · cos A
12 = 14 + 10 - 2 · √(14 · 10) · cos A
12 = 2 √140 ·cos A
6 = 2√35 · cos A
cos A = 3/√35 ≈ 0.507