Доведіть що коли в трапеції діагоналі перпендикулярні, то сума квадратів діагоналей дорівнює квадрату суми основукр.) докажите что когда в трапеции диагонали перпендикулярны, то сумма квадратов диагоналей равна квадрату суммы

ABCD-трапеция,AC и BD диагонали,AC_|_BD,O-точка пересечения
ΔBOC∞ΔAOD по 2 равным накрест лежащим углам.
Тогда BO/OD=CO/OA=k-коэффициент подобия
Следовательно BO=k*OD,CO=K*OA
Найдем
(BC+AD)²=(√(BO²+OC²)+√(OA²+OD²))²=√(√k²OD²+k²OA²)+√(OA²+OD²))²=
=(√(OA²+OD²))²*(k+1)²=(OA²+OD²)*(k+1)²
Найдем
AC²+BD²=(BO+OD)²+(OC+OA)²=(kOD+OD)²+(kOA+OA)²=
=OD²(k+1)²+OA²(k+1)²=(OD²+OA²)*(k+1)²
Получили
(BC+AD)²=AC²+BD² (если равны правые части,то равны и левые)

Проведем прямую  из вершины С параллельно диагонали BD до пересечения с продолжением АD в точке Е. 

∠АСЕ =∠АОD как соответственные при пересечении параллельных ВD и СЕ и секущей АС.  ⇒ ∆ АСЕ - прямоугольный.

В четырехугольнике ВСЕD противоположные стороны параллельны. ВСЕD -  параллелограмм и ВС=DE.  ⇒ 

АЕ=АD+DE. По т.Пифагора квадрат гипотенузы АЕ равен сумме квадратов катетов АС и СЕ. А так как АЕ равна сумме оснований, а СЕ=BD, то 

АС²+ВD²=(AD+BC)², что и требовалось доказать.

В треугольнике ABC, периметр которого равен 20 см ,вписан круг. Отрезок касательной проведенной к окружности параллельно стороне AC, размещенной между сторонами треугольника, равен 2,4 см. Найдите сторону AC.

Объяснение:

Пусть отрезок касательной проведенной к окружности параллельно стороне AC будет МК  , МК=2,4 см.

Пусть точки касания располагаются так :

А-Р-В   ,А-Е-С   , В-Н-С   , М-О-К.

ΔВМК подобен ΔВАС по двум углам : ∠ВМК=∠ВАС как соответственные  и ∠В- общий.

Поэтому    Р(МВК):Р(АВС)=к=МК:АС.

Выразим 1)Р(МВК), 2)АС используя свойство отрезков касательных.

1)Р(МВК)=2,4+МВ+ВК=                                    

               =2,4+(ВР-МР)+(ВН-КН)=

               =2,4+(ВР-МО)+(ВН-КО)=

               =2,4+(ВР+ВН)-(МО+КО)=

               =2,4 +2ВР-2,4=2ВР.

Значит Р(МВК) =2ВР.

2)Р(АВС)=АВ+ВС+АС=

               =(ВР+РА)+(ВН+НС)+АС=

               =(ВР+АЕ)+(ВН+ЕС)+АС=

               =(ВР+ВН)+(АЕ+ЕС)+АС=

               =2ВР+2АС,

  20=2ВР+2АС,  10=ВР+АС, ВР=10-АС.

Т.о   Р(МВК):Р(АВС)=МК:АС ,

       2ВР:20=2,4:АС,

       АС*ВР=24  ( но ВР=10-АС), пусть АС=в ,

       в(10-в)=24,

       в²-10в+24=0, D=4 , в₁=4, в₂=6

АС=4см, Ас=6 см

В треугольнике ABC, периметр которого равен 20 см ,вписан круг. Отрезок касательной проведенной к окружности параллельно стороне AC, размещенной между сторонами треугольника, равен 2,4 см. Найдите сторону AC.

Объяснение:

Пусть отрезок касательной проведенной к окружности параллельно стороне AC будет МК  , МК=2,4 см.

Пусть точки касания располагаются так :

А-Р-В   ,А-Е-С   , В-Н-С   , М-О-К.

ΔВМК подобен ΔВАС по двум углам : ∠ВМК=∠ВАС как соответственные  и ∠В- общий.

Поэтому    Р(МВК):Р(АВС)=к=МК:АС.

Выразим 1)Р(МВК), 2)АС используя свойство отрезков касательных.

1)Р(МВК)=2,4+МВ+ВК=                                    

               =2,4+(ВР-МР)+(ВН-КН)=

               =2,4+(ВР-МО)+(ВН-КО)=

               =2,4+(ВР+ВН)-(МО+КО)=

               =2,4 +2ВР-2,4=2ВР.

Значит Р(МВК) =2ВР.

2)Р(АВС)=АВ+ВС+АС=

               =(ВР+РА)+(ВН+НС)+АС=

               =(ВР+АЕ)+(ВН+ЕС)+АС=

               =(ВР+ВН)+(АЕ+ЕС)+АС=

               =2ВР+2АС,

  20=2ВР+2АС,  10=ВР+АС, ВР=10-АС.

Т.о   Р(МВК):Р(АВС)=МК:АС ,

       2ВР:20=2,4:АС,

       АС*ВР=24  ( но ВР=10-АС), пусть АС=в ,

       в(10-в)=24,

       в²-10в+24=0, D=4 , в₁=4, в₂=6

АС=4см, Ас=6 см