1.найти угол с треугольника авс, если а=74°, в=36°. 2.внешний угол треугольника равен 114°, а внутренний угол, не смежный с ним, - 41°. найти неизвестные углы треугольника. 3.найти углы равнобедренного треугольника, если угол при основании равен 38°. 4.найти углы равнобедренного треугольника, если угол, противолежащий основанию равен 57°. 5.углы треугольника относятся как 4 : 5 : 6. найдите углы этого треугольника. 6.найти углы равнобедренного треугольника, если угол, противолежащий основанию относится к углу при основании как 14 : 3. 7.найти углы треугольника, если один из углов в три раза больше другого, и на 5° меньше третьего.

1. Дано: Δ АВС, ∠А=74°,∠ В=36°. Найти: ∠ С.

Решение: Т. к. сумма углов треугольника =180°, ∠ С=180°-∠ А-∠В,  следовательно, ∠ С=180-74-36=70°. ответ: 70°

2. Дано: ΔАВС, ∠В=41°, внешний∠ВАД=114°. Найти ∠ВАД, ∠С.

Сумма внешнего и внутреннего углов треугольника составляет 180°, поэтому ∠ВАД=180-114=66°

∠С=180-(66+41)=73°

ответ: 66°, 73°.

3 Дано: Δ АВС - равнобедренный, ∠ С=38°. Найти: ∠ А,∠В.

Решение: ΔАВС - равнобедренный, следовательно ∠ В=∠С=38° (углы при основании). Известно, что сумма углов треугольника=180°, следовательно ∠ А=180-∠ В-∠С=180-38-38=104°.

ответ: 38°, 104°.

4.  Дано: Δ АВС - равнобедренный, ∠ А=57°. Найти: ∠ В и ∠С.

Решение: Сумма углов треугольника=180°. Т. к. Δ АВС -равнобедренный, то  ∠ В+∠ С=180-57=123°,  ∠ В=∠С=123:2=61.5°

ответ: 61.5°, 61.5°.

5. Найдем коэффициент пропорциональности: 4х+5х+6х=180°;

15х=180;  х=12.

∠1=12*4=48°; ∠2=12*5=60°;  12*6=72°.

6. Пусть угол при вершине равен 14х, тогда углы при основании равны по 3х градусов. Имеем уравнение: 14х+3х+3х=180.

20х=180;  х=9.

∠1=9*14=126°;  ∠2=∠3=9*3=27°.

7. Пусть ∠1=х°, тогда ∠2=3х°,  ∠3=3х+5°. Составим уравнение: х+3х+3х+5=180;  7х=175; х=25.

∠1=25°; ∠2=25*3=75°,  ∠3=75+5=80°.

В задании фигура с указанными координатами неправильно названа - это параллелограмм.
В любом случае диагональю фигуру разбить на 2 треугольника,
Искомая площадь равна сумме двух треугольников.
Треугольник АВС
Точка А      Точка В          Точка С  
 Ха Уа             Хв  Ув           Хс  Ус
   2 -2                 8 -4               8    8
 Длины сторон:
          АВ              ВС                  АС  
6.32455532        12          11.66190379
Периметр Р  = 29.98646,
p = 1/2Р = 14.99323,
Площадь определяем по формуле Герона: S = 36.

Треугольник АСД
Точка А        Точка С           Точка Д
Ха Уа             Хс Ус                 Хд Уд
 2  -2               8    8                   2   10
АС                                  СД                    АД  
11.6619038           6.32455532            12
Периметр Р =  29.99, р = /2Р = 4.99
Площадь определяем по формуле Герона: S = 36.
Итого площадь фигуры равна 36 + 36 = 72 кв.ед.
 

а)
Допустим AK < BK (точка K ближе к вершине A) . 
Обозначаем  сторону основания правильной пирамиды
AB=BC =CD =DA =a ;
Пусть выполняется S(ABCD) =S(KPM) ⇔
a² =KM*PO/2 ⇔a² =KM*(1,5a)/2⇒KM= 4a/3 .  AB= a< 4a/3 < a√2 =AC ,.т.е   KM не ⊥ AD  и  KM не совпадает  с  диагоналями основания .
б)
Через центр основания  O проведем  EF ⊥ AD (тоже самое EF ⊥ CD), где 
E ∈ [AD]  ,   F ∈ [BC] .  || K∈[AE] ||
ΔOEK = ΔOFM  по второму признаку равенства треугольников   (OE=OF=AB/2 ;∠OEK =∠OFM=90°  и  ∠KOE =∠MOF-вертикальные углы) .
MF=KE . 
---
Sпол(PABMK) = S(ABMK) +S₁бок .
S(ABMK) =(AK +BM)/2 *AB ; AK +BM =(a/2 -KE) +(a/2 +MF)=a.
 ⇒S(ABMK) =(AK +BM)/2 *AB=a/2 *a =a²/2.
S₁бок  =S(APK) +S(BPM)+S(APB) +S(KPM) =AK*h/2+BM*h/2+a*h/2+a²=
 =(AK+BM)*h/2 +.a*h/2 +a² =a*h/2+a*h/2+a²  =a*h+a² .
 Sпол(PABMK)=a²/2+a*h+a²=3a²/2+a*h = (3a+2a*h)/2, где  h_длина апофема .  
ΔEPF  h =EP=√((a/2)² +PO²) =√(a²/4 +9a²/4) =(a√10)/2 .
---
Sпол(PABCD) = S(ABMK) +S₂бок =a²+4*a*h/2 =a²+2*a*h  ;
 Sпол(PABMK)/ Sпол(PABCD) =(3a²+2a*h )/2  : (a²+2*a*h)  =
 =a²(3+√10)/2 : a² (1+√10) =(3+√10) / 2(1+√10).