Квадрат авсд лежит в 1 координатной четверти и имеет координаты вершин а (1; 1) , в (1; 5), д (5; 1 точка м-середина стороны сд, а точка n лежит на ас и an/nc=1/3. найдите координаты точек m и n и докажите , что треугольник dmn равнобедренный

............................

Очевидно С(5 ; 5)    || x(C)= x(D) ; y(C)= y(B) ||
x(M) =x(C)=X(D) = 5 ; 
y(M) =( y(C)+y(D) ) =(1+5) /2 =3 .  * * *  M(5 ; 3) * * *
---
k =AN / NC  =1/3.
x(N) =  (x(A) +  k*x(C) ) / (1+k)   = (1 +(1/3)*5) /(1+1/3) =2.
y(N) =  (y(A) +  k*y(C) ) / (1+k)   = (1 +(1/3)*5) /(1+1/3) =2.  * * *  N(2 ; 2) * * *
* * *  d =√ ((x₂ - x₁)²  +(y₂ -y₁) ²)  * * *
DN =√( 5 -2)² +(1 -2)² = √10.   ₁  ₂
MN =√( 5 -2)² +(3 -2)² = √10.
DN =MN  , т. е.  ΔDMN  равнобедренный .

Проведем через вершину сечение, перпендикулряное стороне основания. В нем построим треугольник, стороны которого - апофема d (высота боковой грани), высота пирамиды (перпендикуляр из S на основание, другой конец этого отрезка - центр квадрата в основании), и отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой боковой стороны, он равен половине стороны основания а. Нам задана высота  этого треугольника, проведенная к гипотенузе d, она равна 2. (Эта высота перпендикулярна 2 прямым в плоскости бокового ребра - апофеме и стороне основания, то есть - это перпендикуляр ко всей плоскости боковой грани.) В этом треугольнике нам задан так же угол в 60 градусов. Далее все очевидноd*cos(60) = a/2; Sбок = 4*d*a/2 = 4*(a/2)^2/cos(60);a/2 = 2/sin(60); (a/2)^2 = 4/(3/4) = 16/3;Sбок = 2*4*16/3 = 128/3 площадь основания в 2 раза меньше (Sбок*cos(60)), это 64/3. А ВСЯ площадь поверхности будет 64.

Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат, а боковые грани  — равные равнобедренные треугольники.
Пирамида SАВСД: основание АВСД (АВ=ВС=СД=АД=6). Вершина пирамиды S проектируется в точку О пересечения диагоналей основания (квадрата) АС и ВД, т.е. SO - это высота пирамиды.
Проведем апофему пирамиды SK - это высота боковой грани.
Двугранный угол SKО равен  30°.
Из прямоугольного ΔSKО найдем SО (OК=АВ/2=6/2=3):
SО=ОК*tg 30=3*1/√3=√3
Площадь основания Sосн=АВ²=6²=36
Объем
V=Sосн*SO/3=36*√3/3=12√3