Две окружности пересекаются в точках а и в так, что их центры лежат по разные стороны от отрезка ав. через точку а проведены касательные к этим окружностям ас и ае (точка с лежит на первой окружности, а точка е – на второй площадь четырехугольника асве в 5 раз больше площади треугольника авс, bd – биссектриса угла аве (точка d лежит на хорде ае). а) найти отношение длин отрезков ав и вс. б) найти значения чисел p и q, если ab=pbe+qde

∠CAD=∠AEB=α (первый угол между касательной и хордой, второй вписанный); ∠BAE=∠ACB=β по тем же причинам ⇒ΔABC подобен ΔEBA. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда площади треугольников относятся как k^2, а поскольку площадь 4-угольника ACBE, состоящего из этих треугольников, относится к площади первого как 5 к 1, то площадь второго относится к площади первого как 4 к 1, а тогда коэффициент подобия равен 2 ⇒AB:BC=2:1

Второй вопрос корректен при условии, что речь идет о векторах. Так и будем считать. Поскольку по доказанному AB:BC=2:1 (сейчас мы их рассматриваем как стороны первого Δ), стороны второго относятся так же, BE:AB=2:1. Поскольку биссектриса делит сторону на отрезки, пропорциональные боковым сторонам,  ED/DA=2/1.

Теперь равенства будут векторные.

AB=AE+EB=(3/2)DE-BE⇒p= - 1; q=3/2  

Точка равноудалена от сторон прямоугольного треугольника, => эта точка проектируется в центр вписанной в треугольник окружности.
радиус вписанной в треугольник окружности: r=(a+b-c)/2
1. по теореме Пифагора:
c²=a²+b². a=9 см, b=12 см
c²=9²+12². c=15 см
r=(9+12-15)/2.  r=3 см

2. прямоугольный треугольник: 
катет - расстояние от точки до плоскости треугольника, а=4 см
катет - радиус вписанной в треугольник окружности, b=3 см
гипотенуза - расстояние от точки до сторон треугольника, с. найти
c²=3²+4²
c=5
ответ: расстояние от точки до сторон прямоугольного треугольника 5 см

У тебя есть окруж­ность с диа­мет­ра­ми АВ и СD. До­ка­жи, что хорды АС и BD равны. До­ка­жи­, что хорды ВС и АD равны. До­ка­жи­, что углы BАD и BСD равны.
Вот как решать:
Для на­ча­ла вы­яс­нии, что СО = ОD = ОВ = ОА, так как ука­зан­ные от­рез­ки – ра­ди­у­сы одной и той же окруж­но­сти. До­ка­жи ука­зан­ные утвер­жде­ния це­поч­ка­ми тре­уголь­ни­ков. На­при­мер, по пер­во­му при­зна­ку, так как ОВ = ОА как ра­ди­у­сы, СО = ОD ана­ло­гич­но, и углы как вер­ти­каль­ные. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что АС = ВD.

Далее до­ка­жи, что ана­ло­гич­но по пер­во­му при­зна­ку. ОD = ОА, СО = ОВ как ра­ди­у­сы, а углы как вер­ти­каль­ные. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что АD = ВC.

Далее до­ка­жи, что по тре­тье­му при­зна­ку. АD – общая сто­ро­на у тре­уголь­ни­ков, АС = ВD по до­ка­зан­но­му утвер­жде­нию в п. 1, АВ = СD как диа­мет­ры окруж­но­сти. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что углы равны