Сторона ромба равна 4, а расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до нее равно 1. найдите площадь ромба.

Диагонали ромба делят его на 4 одинаковых треугольника, в каждом из которых большая сторона равна 4, а высота, проведенная к этой стороне 1. Получается:
S=4* 4*1/2=8cm^2
:)))

Длина катета, противолежащего углу CAD: |CD| = 3 * sin 37 град
Длина катета, прилежащего углу CAD: |AD| = 3 * cos 37 град
Подозрение вызывает величина угла 37 град - это вручную не посчитаешь

У меня получилось 4.325677632 (для 37 град)

Скорее всего, должно быть 30 град.
Тогда легко:
|CD| = 3 * sin 30 град = 3 *1/2 = 3 *1/2
|AD| = 3 * cos 30 град = 3 * (V 3)/2 (здесь значок V означает корень квадратный - не знаю как нарисовать)
Площадь = |CD| * |AD| = 9 * (V 3) /4
Короче, девять четвертых корня из трех = 3.897114317 (для угла 30 град)

Около призмы можно описать сферу тогда и только тогда,  когда призма - прямая, а около её оснований можно описать окружность. 

Шар описан около призмы, значит, призма прямая, все её вершины лежат на поверхности шара. 

Плоскость каждого из оснований призмы пересекает сферу по окружности, описанной около основания.

Поскольку основания - правильные треугольники, радиус такой окружности равен 2/3 высоты ∆ АВС=а/√3=5 см.

Отрезок КМ, соединяющий центры окружностей, описанных около оснований призмы, параллелен боковому ребру и равен ему. Центр сферы лежит на середине О этого отрезка. 

Соединим О с А и К. Т.к. КМ перпендикулярен основаниям призмы, треугольник АКО прямоугольный. 

По т.Пифагора КО=√(AO²-AK²)=√(13*-5²)=12 см

АА1=КМ=2КО=24 см

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению её высоты на периметр основания. 

S=24•3•5√3=360√3 см²