Дан прямоугольник abcd. ав : ad = 1 : 3. ан - высота треугольника bad. площадь треугольника авн равна 1. найдите площадь abcd.

AB=x; AD=3x; BD=x√10 (по теореме Пифагора). 
ΔABD подобен ΔHBA с коэффициентом подобия k=BD/BA=√10⇒
S_(ABD)=k^2S_(HBA)=10·1=10⇒S_(ABCD)=2S_(ABD)=20

ответ: 20

В красном прямоугольном треугольнике один катет равен 5/2, гипотенуза равна 5, т.к. один угол равен 30°
Второй, горизонтальный катет равен 5*cos(30°) = 5√3/2 = 5/2*√3
Боковая сторона коробки
a = 2*(5/2*√3) + 5 = 5 + 5√3 см
площадь одного основания призмы
S₁ = 1/2*a*a*sin(60°) = 1/2*(5 + 5√3)² * √3/2 = √3/4 * (25 +50√3 + 75) =
= √3/4*(100 + 50√3) = 75/2 + 25√3 см²
периметр основания
P = 3a
Высота коробки
h = 5 см
боковая поверхность
S₂ = P*h = 15a = 15*(5 + 5/2*√3) = 75 + 75√3 см²
И полная поверхность
S = 2*S₁ + S₂ = 2*(75/2 + 25√3) + 75 + 75√3 = 150 + 125√3 см²

По свойству касательных к окружности обозначим отрезки от вершины до точки касания, равными 4х и 5х.
Проведём высоту трапеции из вершины верхнего основания на нижнее.
Получим прямоугольный треугольник с катетами, равными 6 и (5х + 4х = х).
Гипотенуза (это наклонная боковая сторона трапеции) равна 5х + 4х = 9х.
По Пифагору (9х)² = 6² + х².
81х² = 36 + х².
80х² = 36.
20х² = 9.
х = √(9/20) = 3/(2√5) = 3√5/10.
Средняя линия Lср трапеции равна 3 + ((4х + 5х)/2) = 3 + (9х/2).
Подставим значение х:
Lср = 3 + (27√5/20) ≈  6,018692.

Тогда искомая площадь S трапеции равна:
S = 6*Lср = 6*(3 + (27√5/20)) =  18 + (81√5/10) ≈  36,11215 кв.ед.