Вравнобедренном треугольнике abc точка p середина высоты опущенной на основание bc. прямая bp пересекает боковую сторону ac в точке m. докажите что cm=2am

AH - высота и медиана

AD||BC

△APD~△HPB (по накрест лежащим углам при параллельных)

AD/BH =AP/PH =1

AD=BH =BC/2

△AMD~△CMB

AM/CM =AD/BC =1/2

Если приравнять пропорции треугольников по AD - получим теорему Менелая

CM/MA *AP/PH *HB/BC =1

1. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

а₆ = Р₆ / 6 = 48 / 6 = 8 м

R = a₆ = 8 м

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата:

d = a₄√2

d / 2 = R

a₄√2 = 8

a₄ = 8 / √2 = 8√2 / 2 = 4√2 м

2. Площадь сектора:

S = πR² · α / 360°

S = π · 12² · 120° / 360° = π · 144 / 3 = 48π см²

3. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

а₆ = R

Правильный шестиугольник диагоналями, проведенными через центр, делится на шесть равных равносторонних треугольников. Площадь одного треугольника:

S  = S₆ / 6 = 72√3 / 6 = 12√3 см²

a₆²√3 / 4 = 12√3

a₆² = 48

a₆ = √48 = 4√3 см

R = 4√3 см

Длина окружности:

C = 2πR = 2 · π · 4√3 = 8√3π см

Для облегчения выкладок сначала рассмотрим подобный треугольник со сторонами в три раза меньше, найдем его площадь, а результат затем удевятерим (ведь площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия). Итак, берем стороны a=13; b=14; c=15.
Воспользуемся формулой Герона 
S^2=p(p-a)(p-b)(p-c) (я написал S^2, чтобы не писать корень в правой части), где p - полупериметр.

p=(13+14+15)/2=21; p-a=8; p-b=7; p-c=6;
S^2=21·8·7·6=7^2·3^2·4^2=84^2⇒S=84.
Осталось результат умножить на 9.

ответ: 756