Впрямоугольном параллелепипеде основанием служит квадрат. диагональ параллелепипеда равна 10 см и составляет с плоскостью боковой грани угол 60. найдите стороны основания.

Получается 4 равных треугольника. найдем углы одного, такие же углы будет и у лстальных. диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то есть угол 1 треугольника.= 90 град. острый угол ромба равен 30 по условию, значит другой (тупой) = 150 град.  так как сумма внутренних углов при параллельных прямых и секущейся равна 180 град (180-30)=150. диагонали ромба есть и биссектрисами углов, то есть 30/2 = 15, 150/2 = 72. итак, углы одного треугольника равны 90, 75,15 градусов. в остальных точно такие же.

Треугольники авс и ebf подобны по двум углам (< b - общий, а < bfe=< bca как односторонние при параллельных ac и ef и секущей вс). из подобия имеем: bg/bh=ef/ac. пусть х - сторона вписанного в треугольник квадрата. bg=(h-x), ac=(h+7), где h = вн - высота треугольника авс. имеем квадратное уравнение: h²+7h -2x*h - 7x =0 или h² - (2x-7)*h - 7x =0. его корни: h1,2={(2x-7)±√[(2x-7)²+28x]}/2. площадь треугольника: s = (1/2)*bh*ac = (1/2)*h*(h+7). подставив в формулу значение h, получим площадь, как функцию длины стороны квадрата х: s= (1/2)*({(2x-7)±√[(2x-7)²+28x]}/2)*(({(2x-7)±√[(2x-7)²+28x]}/2)+7). подставив в эту "страшную" формулу значение стороны квадрата х=12, получим: s = (1/2)*({17±√[289+336]}/2)*((17±√625}/2)+7) = (1/2)*21*28 = 294см². p.s. я взял на себя смелость исправить в "дано"  7м на 7см, так как сторона квадрата, вписанного в треугольник, дается в см. ну и мною нигде не использовано то, что треугольник равнобедренный. значит есть еще варианты решений и, может быть, много проще.