Докажите, что если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то и высота, проведённая к основанию, равна средней линии.

в равнобедренной трапеции диагонали при пересечении образуют два равнобедренных треугольника, основаниями которых есть основания трапеции., т. е. образованные прямоугольные треугольниким равнобедренные высоты = медианам, проведенные из вершин прямого угла на гипотенузу (основание трапеции) = 1/2 гипотенузы,

вцелом высоты двух треугольников = сумме половины оснований,= средней линии

авсd - равнобокая трапеция, ас и вd диагонали, по условию они перпендикулярны. проведите ск параллельно диагонали вd. к лежит на продолжении аd. получится треугольник аск. он прямоугольный, потому что угол аск= углу аоd = 90 градусов. к тому же этот треугольник равнобедренный, потому что в нем ск=ас. fr - основание треугольника. проведите высоту этого треугольника с вершины с. пусть это будет отрезок см. высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, будет чем ? -медианой. значит, м - середина ак. см = 1/2ак = 1/2(аd + dк) а dк = вс, как противоположные стороны параллелограмма вскd. тогда см = 1/2(а + в) а средняя линия как раз и равна 1/2(а+в) значит, высота равна средней линии

Сторона основания a = 6, апофема f = 7 радиус вписанной окружности основания  r =  √3/6·a =  √3 радиус описанной окружности r =  √3/3·а = 2√3 площадь основания s₀ =  √3/4·a² = 9√3 площадь боковой грани s₁ = 1/2 af = 21 полная площадь s = s₀ + 3s₁ =    9√3 + 63 теперь найдём высоту пирамиды из прямоугольного треугольника, образованного радиусом вписанной окружности основания, апофемой и высотой h²+r² = f² h²+3 = 49 h² = 46 h =  √46 объём пирамиды v = 1/3·s₀·h = 1/3·9√3·√46 = 3√3*√46

Сечение будет определено 4 точками на рёбрах параллелепипеда. четвёртая точка е будет лежать на ребре а1в1, причем а1е = ев1 сечение определено сторонами: fd. dc1. c1e. ef по т. пифагора fd^2 = af^2 + ad^2 = 2^2 + 2^2 = 8 fd = 2√2 dc1^2 = dc^2 + cc1^2 = 2^2 + 4^2 = 20 dc1 = 2√5 а1е = ев1 так как угол сечения плоскости таков, что проходит через диагональ боковой стороны dd1c1c, а значит с середины ребра aa1 он попадает на середину a1b1 c1e^2 = b1c1^2 + eb1^2 = 2^2 + 1 = 5 c1e = √5 ef^2 = a1e^2 + a1f^2 = 1 + 1 = 2 ef = √2 p fdc1e = fd+ dc1+ c1e+ ef= 2√2 + 2√5 + √5 + √2 = 3√2+3√5 = 3(√2+√5)