Внутри квадрата abcd со стороной 1 произвольным образом выбирается точка m. найдите наименьшее возможное значение выражения |ma|+|mb|+|mc|+|md| в качестве ответа укажите квадрат этого числа.

 Выберем произвольно точку    тогда по неравенству  треугольников в треугольнике   получим  причем последнее равенство выполняется когда есть точка пересечения диагоналей , аналогично и для треугольника , получим  суммируя  тогда для того чтобы сумма была минимальной , точка  должна являться точкой пересечения диагоналей   , то есть 

по т.синусов: CE:sinD = CD:sinE = DE:sinC

DE = 2.5*CD

CE*sinE = CD*sinD CD*sinC = DE*sinE = 2.5*CD*sinE

sinC = 2.5*sinE = sin(60) = корень(3)/2

sinE = корень(3)/2 : 5/2 = корень(3)/2 * 2/5 = корень(3)/5

(cosE)^2 = 1 - (sinE)^2 = 1 - 3/25 = (25-3)/25 = 22/25

cosE = корень(22)/5, используя формулы приведения и синус суммы углов, найдем

sinD = sin(180 - (уголC+уголE)) = sin(уголC+уголE) = sinCcosE+cosCsinE =

sin(60)*корень(22)/5 + cos(60)*корень(3)/5 = корень(66)/10 + корень(3)/10 =

корень(3)*(корень(22)+1)/10

CE:CD = sinD/sinE = корень(3)*(корень(22)+1)/10 : корень(3)/5 = корень(3)*(корень(22)+1)/10 * 5/корень(3) = (корень(22)+1)/2

 

Прямые АА1 и В1D не пересекаются, не параллельны, лежат в разных плоскостях – они скрещивающиеся. 

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Расстоянием между прямой и плоскостью является длина отрезка, проведенного перпендикулярно к плоскости из любой точки прямой. 

АА1║ВВ1⇒ АА1 параллельна плоскости, содержащей прямую В1D. 

Т.к. призма правильная, АВСD – квадрат. 

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. 

Проведем ОН║АА1. АО⊥ОН, АО⊥ВD⇒   

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. ⇒

АО перпендикулярна плоскости, содержащей прямую B1D. Искомое расстояние АО. 

S=АВ²⇒

AB=√16=4

Диагонали квадрата - биссектрисы прямых углов. ∠ОАВ=45°

АО=АВ•sin45°=4•√2/2=2√2 (ед. длины)