Через вершину конуса и хорду основания проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45 градусов. радиус основания конуса равен 4, а высота равна 3. найти площадь сечения.

Обозначим хорду АВ, высоту конуса МО, ОА, ОВ и ОС - радиусы основания. 
Проведем из О перпендикуляр ОН к хорде.  Соединим М с А, В и Н. ∆МАВ - равнобедренный АМ=МВ- образующие. 
∠ МНО=45°⇒ ∠НМО=45°,  ∆ МОН равнобедренный, и  НО=МО=3. 
ОН⊥АВ и делит хорду пополам. 
Из ∆ ВОН  по т.Пифагора катет ВН=√(ОВ²-ОН²)=√(16-9)=√7
По т. о 3-х перпендикулярах МН⊥АВ.
МН - высота ∆МАВ.
МА=МО:sin 45°=3√2
S ∆ МАВ=МН•АВ/2=√7•3√2=3√14
--------------

Я отвечу только на второе

Доказательства в объяснении.

Объяснение:

1. Угол КАВ - угол между касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине градусной меры дуги АВ, заключённой между его сторонами. Вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу АВ, а  вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Следовательно, ∠АСВ = ∠КАВ, что и требовалось доказать.

2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то ∠АВК =∠ВАС.   ∠АСВ = ∠КАВ (доказано выше).

По сумме внутренних углов треугольников АВС и КАВ имеем:

∠АВС = 180 - (∠АСВ + ∠ВАС)  

∠АКВ = 180 - (∠КАВ + ∠АВК)   =>

∠АВС = ∠АКВ.  =>  ∠АВК = ∠АКВ  =>

Треугольник КАВ - равнобедренный, так как углы при основании ВК равны. Что и требовалось доказать.  

3. Треугольники АСВ и КАВ подобны по  2 признаку подобия (по двум углам) с коэффициентом подобия k = АС/АВ. (Отношение соответственных сторон треугольников).

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

Sabc/Sabk = k² = АС²/АВ².

По теореме косинусов в тр-ке АВС найдем:

АВ²=2АС²-2АС²·Cosα = 2АC²·(1-Cosα).  

Тогда k²=АС²/(2АC²·(1-Cosα)) = 1/(2·(1-Cosα)). =>  

к² зависит только от угла α, то есть  

отношение площадей зависит только от величины угла АСВ.

Что и требовалось доказать.

Как говорится, Пифогоровы тройки (3, 4, 5) Следовательно треугольник прямоугольный, значит один из углов 90 градусов. А остальные не знаю, если треугольник еще равнобедренный, где большая сторона - основание равнобедренного треугольника, то углы при основании равны 45 градусам.

Объяснение:

Пифогоровы тройки - это так назвали легкие числа, чтобы не считать "просто так".

5^2=4^2+3^2

25=16+9

25=25.

так как квадрат катетов (a и b) = квадрату гипотенузы (с), то треугольник прямоугольный (то есть один угол прямой(90 градусов)).