Основание пирамиды прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см все двугранние углы при основании пирамиды равны 60 градусов найдите высоту пирамиды с рисунком

АВ²=АС²+ВС²=36+64=100; АВ=10 см.
Площадь ΔАВС равна S=0,5·АС·ВС=0,5·6·8=24 см².
Вычислим радиус вписанной окружности R=2S/Р.
Периметр ΔАВС равен Р=6+8+10=24 см.
R=2S/Р=2·24/24=2 см.
ΔМОР=ΔМКО=ΔМТО Острые углы в этих прямоугольных треугольниках равны 30° и 60°.
РМ=2РО=2·2=4 см, РМ=МК=МТ=4 см.
Вычислим ОМ.
ΔОРМ. ОМ²=РМ²-ОР²=4²-2²=16-4=12, ОМ=√12=2√3 см.
ответ: 2√3 см.

Проведем МА⊥α и МВ⊥β.
МА = 12 - расстояние от М до α,
МВ = 16 - расстояние от М до β.

Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С.
МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а.
МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а.
Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒
а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла;
а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.

МАСВ - прямоугольник, АС = МВ = 16.
Из прямоугольного треугольника АМС по теореме Пифагора:
МС = √(МА² + АС²) = √(16² + 12²) =  √(256 + 144) = √400 = 20

Нужно делить на СООТВЕТСТВУЮЩУЮ сторону треугольника. Если дано, что треугольники АВС и ОРТ, подобны, то вначале надо определить какие стороны являются соответствующими (и то же самое с углами: соответствующие углы у подобных треугольников равны). Как правило в учебниках, при записи подобных треугольников соответствие определяется по положению буквы в записи треугольника. Хотя, в новых учебниках это явно не сказано. Например, если сказано, что треугольники АВС и ОРТ подобны, то подразумевается, что угол А равен углу О, угол В равен Р, и С равен Т. И тогда стороне АВ соответствует  сторона ОР, стороне ВС соответствует РТ и стороне АС соответствует OТ. Т.е. при такой записи, будет AB/OP=BC/PT=AC/OT. И в вашей задаче, если AB=8, то чтобы определить коэффициент подобия, надо знать длину именно ОР. И если сказано, что она 4, то да, треугольник ABC подобен треугольнику ОРТ с коэффициентом подобия 2.