Дан треугольник авс .на продолжении стороны ав за точку в отмечена точка d , угол авс=42 градуса.чему равен угол dbc?

Угол АВС вместе с углом DBC составляют развернутый угол 180.
Отсюда угол DBC=180-42=138 градуса.

1) ∠1=100/2=50°,  ∠2= 180-50=130°. ответ: 50°, 130°.
2)Сумма смежных углов равна 180°, значит дана сумма вертикальных углов, а вертикальные углы равны. Значит каждый из них равен
270 : 2 = 135°, Смежный к ним угол равен 180-135=45°. ответ: 45°, 45°, 135°, 135°.
3) Можем сразу найти ∠4=360-220=140°, вертикальный к ниму угол также равен 140°. а смежные углы будет по 180-140=40°.
ответ: 140°, 140°, 40°, 40°.
4) ∠1=2х, ∠2=х+75.
∠1+∠2=180,
2х+х+75=180,
3х=105,
х=105/3=35°,  ∠1=2·35=70°, ∠2=35+75=110°.
ответ: 70°, 70°, 110°, 110°.

Пусть у треугольника ABC прямой угол А. Значит нам известно отношение сторон AB/BC = 12/13 и AC = 10 см.

Отношение катета и гипотенузы - это синус или косинус какого-либо угла, а именно

sin(C) = 12/13 => C = arcsin(12/13).

cos(B) = 12/13 => B = arccos(12/13).

Формально углы найдены, точное значение предлагаю вычислить самостоятельно, так как я не знаю, в каком виде преподаватель хочет их видеть. К сожалению, из значение является бесконечной десятичной дробью.

Найдем сторону BC.

cos(C) = BC/AC,

BC = cos(C)*AC = 10 * cos(arcsin(12/13)),

Найдем AB.

sin(B) = AC/AB,

AB = AC/sin(B) = 10/sin(arccos(12/13)).

Известно, что arcsin(x) = arccos(sqrt(1-x^2)) при 0 ≤ x ≤ 1 и arccos(x) = arcsin(sqrt(1-x^2)) при аналогичных условиях. Таким образом,

arcsin(12/13) = arccos(sqrt(1-144/169)) = arccos(5/13),

arccos(12/13) = arcsin(sqrt(1-144/169)) = arcsin(5/13).

Отсюда

BC = 10*cos(arccos(5/13)) = 50/13,

AB =10/sin(arcsin(5/13)) = 10/5/13 = 130/5 = 26.