Теорема о свойстве односторонних углов при пересечении двух паралельных прямых третьей прямой.

Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, ∠ 4 = ∠ 6. Докажем, что а || b.Предположим, что прямые а и b не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности ∠ 4 — внешний угол треугольника АВМ, а ∠ 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что ∠ 4 больше ∠ 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и 6 не могут пересекаться, поэтому они параллельны.

Задача 6

В ΔАВС , АВ=ВС, АЕ -биссектриса, Е∈ВС. Найти Р( АВС), если ВС-АС=8 и ВЕ:ЕС=3:2.

Решение.

Пусть одна часть х. Тогда ВЕ=3х, ЕС=2х ⇒ ВС=5х ⇒ АВ=5х , т.к треугольник равнобедренный.

По т. о биссектрисе треугольника    , тогда ⇒ AC= .

По условию  ВС-АС=8 , поэтому 5х- = 8  или   =8  или х=4,8.

ВС=5*4,8=24 , АВ=24 , АС=.

Р=24+24+16=64.

Задача 8

Стороны треугольника относятся как 2:3:3 . Найти периметр треугольника , если основание на 5 единиц меньше боковой стороны.

Решение .

Дан ΔАВС. АВ=ВС . Пусть одна часть х. Тогда АВ=ВС=3х, АС=2х .

По условию АС меньше АВ на 5, т.е  АВ-АС=5.

Получим 3х-2х=5 или х=5  . Тогда АВ=ВС=3*5=15, АС=2*5=10 .

Р=15+15+10=40.

Задача 9

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. , высота , опущенная на основание,  равна 6 .Найти периметр треугольника .

Решение .

Дан ΔАВС , АВ=ВС  ,ВН⊥АС , ∠АВС=120°.

1) Высота равнобедренного треугольника является биссектрисой ⇒∠АВН=60° .

2) ΔАВН -прямоугольный , по свойству углов ∠А=90°-60°=30°.

Против угла в 30° , лежит катет равный половине гипотенузы , т.е ВН=1/2*АВ ⇒ АВ=12 ⇒ВС=12, т.к треугольник равнобедренный.

По т. Пифагора АН²=АВ²-ВН² или АН²=12²-6²  или АН=√18*6=6√3.

3) Высота равнобедренного ΔАВС является медианой, значит  АН=НС=6√3  ⇒АС =12√3.

4)Р=12√3+12+12=24+12√3.

Пусть данный катет АС, угол - А
На произвольной прямой m отложим отрезок, равный длине катета АС. 
Обозначим его концы А и С. 
На сторонах заданного угла А циркулем радиуса=АС  с центром в т.А сделаем насечки. Обозначим их О и М. 
Соединим О и М. 
Из т. А построенного на m катета проведем тем же раствором циркуля полуокружность. 
Циркулем измерим ОМ и из т.С отложим полуокружность до пересечения с первой в т.К. 
АС=АМ, АК=АО, отрезок СК равен отрезку ОМ, ⇒ ∆ АКС=∆ АОМ. Следовательно, угол КАС равен заданному. 
Катет и прилежащий к нему угол построены.  
На равном расстоянии по обе стороны от С отметим на прямой m т.1 и т.2. 
Из этих точек, как из центров, начертим полуокружности так, чтобы они пересеклись по обе стороны от прямой m. 
Точки пересечения соединим. Построен перпендикуляр к прямой m  через т. С ( это стандартный построения перпендикуляра, и он наверняка Вам знаком). 
Точку пересечения перпендикуляра с другой стороной угла А обозначим В. 
Искомый треугольник АВС по катету АС и прилежащему углу А построен.