Восновании конуса проведены две равные хорды ав и вс, причём ∠авс =60°. через одну из хорд и вершину конуса проходит плоскость. вычислите объём конуса, если его сечение представляет собой равносторонний треугольник, площадь которого равна 9√3 см².

Обозначим вершину конуса М. 

Соединив  точки А и С, получим равнобедренный ∆ АВС с углом при В=60°, ⇒ ∆ АВС - равносторонний, для которого окружность, ограничивающая основание конуса - описанная. 

По условию сечение АМВ - равносторонний треугольник, и  стороны АВС равны его сторонам, т.к. АВ - общая их сторона.

S∆ АМВ=9√3

S ∆AMB=(a²√3):4 формула площади правильного треугольника. ⇒

(a²√3):4=9√3 ⇒ a²=4•9; a=√36=6

Формула радиуса описнной окружности R=a:√3

R=ВО=6:√3

Из ∆ ВОМ высота МО=√(BM*-BO*)=√(36-12)=2√6

Формула объема конуса V=S•h:3

S=πR²=π•36:3=12π

V=(12π•2√6):3=8π√6см³

Пусть стороны АВ и ВС треугольника соответственно равны 1 и √15 а его медиана ВМ равна 2.На продолжении медианы BM за точку M отложим отрезок MD, равный BM. Из равенства треугольников ABM и CDM (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство площадей треугольников ABC и BCD. В треугольнике BCD известно, что
ВС=√15; ВD=2ВМ = 2*2=4 ; DС=АВ=1
по формуле герона
р=(√15+4+1)/2=(√15+5)/2
s=√(p(p-BC)(p-BD)(p-DC))=√((√15+5)/2)((√15+5)/2-√15)((√15+5)/2-4)((√15+5)/2-1)=
√((√15+5)/2)((-√15+5)/2)((√15-3)/2)((√15+3)/2)=√(((√15+5)(5-√15)(√15-3)(√15+3))/16)
=√(((25-15)(15-9))/16)=√60/√16=2√15/4
2*3.87/4=1.94

Из определения: прямая, параллельная плоскости, не имеет общих с плоскостью точек. Отсюда следует: (1) a||b или (2) у a и b нет общих точек (скрещивающиеся).
Докажем (2), а заодно и опровергнем возможность пересечения.

Пусть a пересекает b, значит существует общая для a и b точка B, являющаяся точкой пересечения прямых.
b лежит на плоскости, значит каждая точка, принадлежащая b, пренадлежит плоскости Альфа (в частности В). Следовательно у a и Альфа есть общая точка B, значит a не параллельна плоскости Альфа по определению.
Противоречие. Доказано - a не пересекает b.