Две концентрические окружности имеют общий центр о. из произвольной точки а окружности большего радиуса проведены две касательные af и ak к меньшей, которые пересекают большую окружность в точках d и e соответственно, , угол dae=60 градусов. найдите радиус меньшей окружности, если радиус большей равен 8 см

АF=AK как касательные, проведённые из одной точки. OF=OK=R.
Треугольники AFO и АКО равны по трём сторонам.
Равнобедренные треугольники АОД и AOE равны т.к. ОД=ОЕ, АО - общая сторона, OF=OK ⇒ АК=КЕ и AF=FD ⇒ АЕ=АД.
Треугольник АЕД равнобедренный, значит ∠АДЕ=∠АЕД=(180-60)/2=60°.
Треугольник АЕД правильный, данные окружности имеют общий центр, бОльшая окружность - описанная, меньшая касается сторон АД и АЕ, значит она вписанная. 
r=R/2=8/2=4 см - это ответ.

Площадь боковой поверхности цилиндра: S=2πRH=8√3π ⇒ Н=4√3/R.
Сечение цилиндра проходит через хорду АВ в основании, отстоящую от центра окружности на 2 см. ОМ=2 см. АМ=ВМ, М∈АВ, АО=ВО=R.
В прямоугольном тр-ке АОМ АМ=√(АО²-ОМ²)=√(R²-4).
АВ=2АМ=2√(R²-4).
По условию АВ=Н. Объединим оба полученные уравнения высоты.
4√3/R=2√(R²-4), возведём всё в квадрат,
48/R²=4(R²-4),
12=R²(R²-4),
R⁴-4R²-12=0,
R₁²=-2, отрицательное значение не подходит.
R₂²=6.
Н=2√(6-4)=2√2 см.
Площадь искомого сечения равна: S=H²=8 см² - это ответ.

АМ -касательная
АN - секкущая АР - её внешняя часть
О - цент окружности
ОК - растояние до секущей
АМ=12
АN= 18
ОК= 3
ОМ=?

для решения воспользуемся без доказательства теоремой о свойствах касательной и секущей проведенной из одной точки:

Теорема
"Произведение всей секущей на её ВНЕШНЮЮ часть равно квадрату касательной"

т.о. АМ*АМ=АМ^2 = AP*AN  12*12 = AP*18  AP=(12*12)/18 =8

PN=AN - AP =18 - 8 = 10

проведем радиусы в точки пересечения секущей ОР и ON

треугольник ОРN - равнобедренный, его высота ОК=3 является также и медианой, т.е. PK=KN=PN / 2 = 10 / 2 = 5

из прямоугольного треугольника OKN по теореме Пифагора определим радиус, он равен гипотенузе треугольника с катетами 3 и 5 см

R = OP = ON = OM = √(5^2 + 3^2) = √(25 + 9) = √34 см ~~ 5,8 см

ответ немного смущает, но видимо это "модификация" преподавателя, для защиты от списывания, наверное цифры у Сканави были другие, если конечно я не ошибся в "расчётах"

ответ: радиус окружности равен √34 см