Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 37 см, а сумма катетов - 47 см.

Решение смотри на фото

Объяснение:

Решается с применением теоремы: биссектриса, опущенная на сторону треугольника, делит её на отрезки в сотношением, равным отношению двух других сторон треугольника.

1)

пусть Х - длина отрезка AD:

AD = х, тогда СD = (20 - х).

Составим пропорцию по теореме:

\begin{gathered}\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\\ \frac{x}{20-x}=\frac{10}{15}\\ 15x = 10(20-x)\\ 15x = 200-10x\\ 15x + 10x = 200\\ 25x = 200\\ x = 8\\ AD=8 \\ DC=12\\\end{gathered}

DC

AD

=

BC

AB

20−x

x

=

15

10

15x=10(20−x)

15x=200−10x

15x+10x=200

25x=200

x=8

AD=8

DC=12

2)

Составим пропорцию по теореме:

\begin{gathered}\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\\ \frac{8}{5}=\frac{16}{BC}\\ BC = \frac{16*5}{8}\\ BC = 10\\\end{gathered}

DC

AD

=

BC

AB

5

8

=

BC

16

BC=

8

16∗5

BC=10

3)

пусть Х - длина отрезка AD:

AD = х, тогда СD = (х+1).

Составим пропорцию по теореме:

\begin{gathered}\frac{AD}{DC}=\frac{AB}{BC}\\ \frac{x}{x+1}=\frac{2}{7}\\ 7x = 2(x+1)\\ 7x = 2x+2\\ 5x = 2 \\ x = 0.4\\ AD=0.4 \\ DC=1.4\\ AC=AD+DC=0.4+1.4=1.8\\\end{gathered}

DC

AD

=

BC

AB

x+1

x

=

7

2

7x=2(x+1)

7x=2x+2

5x=2

x=0.4

AD=0.4

DC=1.4

AC=AD+DC=0.4+1.4=1.8

Обозначим трапецию АВСД, с большим основанием АД. Тогда опустим из угла С высоту СК к этому основанию. Получим треугольник СКД. Это равнобедренный треугольник,т.к угол СКД 90 градусов, а СДК 45(соответственно, другой угол тоже 45) Сторона СК=АВ=9см (т.к получается,что это стороны прямоугольника АВСК. Соответственно, сторона КД=СК=9см(тк треугольник равнобедренный). Сторона АД=23 см, а КД=9 см, тогда найдем длину АК: 23-9=14 см. Вернемся к прямоугольнику АВСК, в котором ВС=АК=14см. При этом, сторона ВС является меньшим основанием трапеции.