Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если известно, что один из них в 4 раза больше другого

X-1 часть, 2 острых угла=4x+x=5x
сумма углов в треугольнике 180°
180-90(т.к угол прямой)=90
5x=90 x=18 первый острый угол равен 18°, второй 18*4=72°

1. Дано: <AOB и <BOC - смежные
             ОD - биссектриса <AOB
             OF - биссектриса <BOC
            <AOD : <FOC =2 : 7
  Найти <AOD и <FOC.
Решение:
2 <AOD + 2<FOC=180°
<AOD+<FOC=90°
<AOD=2x
<FOC=7x
2x+7x=90°
9x=90°
x=10°
<AOD=2*10°=20°
<FOC=7*10°=70°
ответ: <AOD=20°
           <FOC=70°

2. Дано: <EAC=<DCA
             DF=EF
  Доказать, что ΔABC-равнобедренный.
Док-во:
1. Так как <EAC=<DCA (по условию), то ΔAFC- равнобедренный. Отсюда 
AF=FC.
Так как DC=DF+FC  и   AE=AF+EF, то DC=AE.
2. ΔDCA=ΔEAC (по 1-ому признаку равенства Δ: DC=EA, <EAC=<DCA (по условию); AC-общая сторона).
Из равенства Δ следует, что <DAC=<ECA.
<DAC=<BAC
<ECA=<BCA.
Отсюда <BAC=<BCA.
Значит ΔABC-равнобедренный.
Что и требовалось доказать.

Углы одного треугольника относятся как 3: 5: 7, а во втором один из углов на 24 градуса больше второго и на 24 градуса меньше 3 угла. Докажите, что треугольники подобны.
Пусть углы треугольника   3х, 5х, 7х.
Тогда сумма углов треугольника  3х+5х+7х = 15х градусов, что  равно 180°
Составляем  уравнение
15х = 180°    ⇒  х=12°
Значит углы треугольника    3х=3·12=36°      5х = 5·12 = 60°     7х = 7·12 = 84°

Один из углов второго треугольника на 24 ° больше второго угла, значит  60+24°= 84°
и угол на 24° меньше третьего - угол в 60°=84°-24°
Значит два угла второго треугольника 84° и 60°, а третий угол 180° - 84° - 60°= 36°
углы второго треугольника 84°; 60° ; 36°
Треугольники подобны по трём углам.