Отрезок ab = 51 касается окружности радиуса 68 с центром o в точке b. окружность пересекает отрезок ao в точке d. найдите ad.

Теорема о касательной и секущей: Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.  

обозначаем АD за х 
(68+х)*х=2601    (это 51 в квадрате)
+68х-2601=0 
ищем корни по дискрименанту и оставляем из них только один 

(-68+)/2
это ответ

0) Обозначим одну точку как H, это будет ортоцентр. А другую, как O, это будет центр описанной окружности.

Вспомним два свойства ортоцентра:

1. Точка, симметричная ортоцентру относительно прямой, содержащей сторону треугольника,  лежит на описанной около треугольника окружности.

2. Точка, симметричная ортоцентру относительно середины стороны треугольника, лежит на описанной около треугольника окружности и диаметрально  противоположна вершине треугольника, противолежащей данной стороне.

1) Построим точку H' симметричную H относительно прямой а. Для этого: проводим полуокружность с центром H и радиусом (p) большим, чем расстояние от H до прямой а. Из точек пересечения полуокружности с прямой, проводим окружности с радиусом (p). Они пересеклись в двух точках, одна H, другая H'.

По свойству ортоцентра (1.) H' лежит на описанной окружности.

2) Проведём окружность с центром в точке O и радиусом OH'. Это и есть описанная окружность. По условию, точки пересечения этой окружности с прямой a, будут вершинами треугольника. Обозначим эти вершины как A и B. Построим сторону AB.

3) Определим середину AB. Для этого: проводим окружности с центрами в точках A и B, с равными радиусами (r), которые больше, чем половина AB. Через точки пересечения этих двух окружностей проводим прямую q. Точку пересечения прямых q и а обозначим как M. Это и есть середина AB.

4) Построим последнюю вершину треугольника C. Проводим прямую k через точки M и H. Точку пересечения k с описанной окружностью обозначим, как H₁. По свойству ортоцентра (2.) точка H₁ диаметрально противоположная точке С. Проводим через точки H₁ и O прямую t, точку пересечения прямой t и окружности обозначим как С. Это и есть последняя вершина.

5) Построим стороны AC и BC треугольника ABC. Задание выполнено.

1. Сумма внутренних углов треугольника 180

Угол BAC=180-90-60=30*

У нас есть теорема, что катет лежащий протий угла 30* , равен половине гипотенузы , значит BC=10:2=5 см

ответ: BC= 5см

2. Сумма углов треугольника 180*

Угол DCB = 180-45-90=45*

Значит треугольник BCD равнобедренный , CD=DB=8см

Угол С 90* , а угол DCB=45*, значит ACD тоже 45*

Значит CD- биссектриса , но она в то же время и высота , а значит это равнобедренный треугольник . Но в равнобедренном треугольнике высота=медиана =биссектриса. Если CD Медиана , то AD=DB .

DB=8см, значит AD тоже 8 см

АВ=8+8=16см

3.сумма внутренних углов треугольника 180*

угол EBC= 180-60-90=30*

Катет лежащий против угла 30* равен половине гипотенузы , а значит EB= 7*2=14 см ABC=180-30-90=60*

Угол ABE=ABC- EBC=60-30=30*

EAB=ABE=30* , значит ABE равнобедренный

Следовательно , AE=EB=14см

ответ : AE=14 см