Вчетырёхугольнике abcd, ab=bc, и ad=dc. дакажите, что отрезки bd и ac перпендикулярны.

ΔАВС равнобедренный. Проведем медиану ВС, она является и высотой.
ΔADC равнобедренный. О - середина АС, значит DC - медиана и высота.
Через точку О может проходить единственная прямая, перпендикулярная АС, значит точки D,  О и В лежат на одной прямой. ⇒ АС ⊥ BD

Три вершины треугольника равноудалены от центра описанной окружности... 
т.е. расстояния OА=OB=OC = R
обозначим равные стороны АВ=ВС,
тогда угол АВС=120 (другого варианта быть не может...))) 
угол ВАС = 30 градусов --- вписанный угол, опирающийся на дугу ВС, 
тогда центральный угол ВОС = 60 градусов --- это угол при вершине равнобедренного треугольника (ВО=ОС) => этот треугольник равносторонний...
R = BC = BA
т.е. колодец должен находиться в вершине равностороннего треугольника со сторонами, равными меньшему из расстояний между домами...
(АС > больше, чем АВ=ВС)))

Т.к. MN --- средняя линия, АВС и MBN подобны с коэффициентом подобия 2
S(ABC) = 4*S(MBN)  или S(MNB) = S(ABC) / 4
(площади подобных фигур относятся как квадраты коэфф.подобия)))
AMNC --- трапеция, АОС и MNO подобны с коэфф.подобия тоже 2
S(AOC) = 4*S(MNO)
для треугольника ABN --- MN будет медианой...
медиана разбивает треугольник на два равных по площади треугольника, т.е. 
S(AMN) = S(MNB)
S(AMN) = S(AMO) + S(MNO) =>
S(AMO) = S(AMN) - S(MNO) = S(MNB) - S(MNO)
аналогично, для треугольника CMB --- MN будет медианой...
и S(СMN) = S(MNB)
S(СMN) = S(CNO) + S(MNO) => 
S(CNO) = S(CMN) - S(MNO) = S(MNB) - S(MNO)

ABC = AOC + AMO + CNO + MNO + MNB
ABC = 4*MNO + MNB - MNO + MNB - MNO + MNO + MNB
ABC = 3*MNO + 3*MNB 
ABC = 3*MNO + 3*ABC / 4
ABC / 4 = 3*MNO
ABC = 12*MNO
MNO / ABC = 1 / 12