Площадь правильного треугольника равна 75 корней из 3, найти радиус описанной окружности

Все стороны правильного (равностороннего) треугольника АВС = а .
Его высота ВН есть медиана, её можно найти из прямоугольного треугольника АВН :
  h=√(a²-a²/4)=√(3a²/4)=(a√3)/2
Центры вписанной и описанной окружностей у правильного Δ совпадают
и лежат на пересечении серединных перпендикуляров (они же высоты, биссектрисы и медианы). Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1 , считая от вершины. И 2 части приходится на радиус описанной окружности, а 1 часть приходится на радиус вписанной окружности. Нас интересует  R=2/3·h=2/3·(a√3)/2=a√3/3 .
Формула площади правильного треугольника:
  S=1/2·a·a·sin60°=a²/2·√3/2=a²√3/4  .
По условию  S=75√3   ⇒  a²√3/4=75√3  ⇒  a²=75·4=300  ⇒  a=10√3 .
R=a√3/3=10√3·√3/3=10 .

Точки A-F-C лежат на прямой Симсона точки B относительно треугольника EGD.

Объяснение:

Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на прямой Симсона.

Точка B лежит на описанной окружности треугольника EGD (прямые углы EBG и EDG опираются на диаметр EG).

A и С - основания перпендикуляров из точки B на стороны треугольника EGD.

Тогда AC - прямая Симсона точки B относительно треугольника EGD.

(Прямая Симсона пересекает сторону EG  в точке F, следовательно BF⊥EG)

Пусть в треугольнике АВС угол А равен а, угол с равен ь, проведены биссектрисы AD и СЕ, которые пересекаются в точке О (см. рисунок). Рассмотрим треугольник АОС. Сумма его углов равна 180 градусам, тогда угол АОС равен 180-1/2ВАC-1/2BCA= 180- AC - ECA = 180 - 1/2 (a+b). Угол, под которым пересекаются две прямые это наименьший из углов, которые получаются при их пересечении. Докажем, что угол ЕОА будет меньше угла АОС, тогда угол ЕОА - угол, под которым пересекаются биссектрисы. Действительно, угол ЕОА является смежным с углом АОС, тогда он равен 1/2(a+b). Так как а+ь<180, 1/2(a+b)<90 и 2(a + b) < 180 /2(a+b), то есть, какими бы ни были углы а и ь, угол ЕОА всегда будет меньше угла АОС. Окончательный ответ - 1/2(a+b).