Найти площадь четырёхугольника если его стороны равны 13, 15, 7, 5, а радиус вписанной окружности равен 8.

Квадрат, вырезаемый  из пластины, имеющей форму правильного треугольника, должен быть вписанным в нее, чтобы иметь наибольшую площадь. Любой другой будет иметь меньшую длину стороны.

 Найдем сторону правильного треугольника, выразив ее из формулы площади правильного треугольника.
 9√3=(a² √3):4 
36√3=a²√3 
a=√36=6 
АС=6, НС=3 
Пусть треугольник будет АВС, его высота -ВH, вписанный в него квадрат - ЕКМТ.
Примем половину стороны квадрата равной х, тогда КМ=2х,
Треугольники ВНС и КМС подобны - оба прямоугольные и имеют общий угол С. 
ВН=ВС*sin 60º=3√3 
МС=НС-НМ=3-х 
Из подобия треугольников следует 
ВН:КМ=НС:МС 
(3√3):2х=3:(3-х)
6х=9√3-х*3√3
Сократим на 3 обе части уравнения
2х=3√3-х√3
2х+х√3==3√3 
х(2+√3)=3√3 
х=3√3 :(2+√3)
Домножим числитель и знаменатель правой части уравнения на (2-√3) 
х=3√3 *(2-√3):(2+√3)*(2-√3) 
х=3√3 *(2-√3):(4-3) 
2х=6√3 *(2-√3)=12√3-18 

Р=4*(12√3-18)=48√3-72

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостями ВА₁С₁ и ВАD₁
 Пусть ребра куба равны а. 
Тогда диагонали граней равны а√2 
Плоскость ВАD₁ = прямоугольник ВАD₁С₁. 
Плоскость ВА₁С₁ - правильный треугольник со сторонами а√2 (диагонали граней куба). 
Искомый угол - угол между высотой А₁Н ( она ⊥ ВС₁) правильного треугольника ВА₁С₁ и средней линией  ОН прямоугольника ВАD₁С₁ (она⊥ ВС₁). 
OA₁=AO= (a√2)/2_
1) tg∠A₁HO=A₁O:OH=[a√2):2]:a=1/√2= 0,7071 -  это тангенс угла 35º15’
 или
2) sin ∠A₁HO=A₁O:A₁HA₁H=a√2*sin60º=1/√3=0,5773, это синус того же угла 35º15