Четыре ребра прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1d1 равны 6√3 м каждое, а остальные ребра равны 3√2 м каждое. найдите угол между прямыми a1c и b1d.

Прямые A1C и B1D лежат в одной плоскости A1B1CD.
A1B1CD - это прямоугольник, сторона СД равна 3√2. сторона А1Д равна:
А1Д = √((6√3)²+(3√2)²) = √(108+18) = √126 = 3√14.
Угол α между прямыми A1C и B1D определяем по формуле:
α = 2arc tg((A1B1)/(A1D)) = 2arc tg((3√2)/(3√14)) = 2arg tg(1/√7) =
   =  2*20,70481°  = 41,40962°.

угол С= 180 - уголВ - угол Д= 180- 45- 60= 75
по теореме синусов 
ВС/ sin уг.Д= СД/ sin уг.В
корень из 3/ sin60= CД/sin45
корень из 3 / (кор.из 3/2)= СД / (1/кор.из2)  
СД= корень из 2
ВД найдем по т.косинусов    ВД^2 = ВС^2 + CД^2 - 2 *ВС*СД*cosД
откуда ВД= корень из (ВС^2 + CД^2 - 2 *ВС*СД*cosД)
ВД = корень из[(√3)^2 + (√ 2)^2 - 2*√3*√2*cos 75]
сos75 =cos(30+45)=cos30*cos45-sin30*sin45=(√3 -1)/2√2
ВД = корень из[ 3 +2 - 2*√3*√2*(√3 -1)/2√2 ]=корень из[5 - √3*(√3 -1)]=корень из[ 5- 3 +√3]=
=кор из[ 2 +√3]
вроде так))но могла ошибиться в расчетах )

Радиус окружности, описанной около правильного (равностороннего) треугольника, равен двойному радиусу окружности, вписанной в этот треугольник . 
R = 2r , где R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности
R = 2 * 2 = 4 (cм)

Радиус окружности, вписанной в этот треугольник можно выразить через сторону треугольника

r = a * √3 / 6, где а - сторона правильного треугольника
       
       r * 6
a = ---------
        √3

         2 * 6         12          12 * √3         12√3
a = ----------- = --------- = ------------- = ----------- = 4√3 (см)
          √3            √3         √3 * √3            3

Периметр равностороннего треугольника
P = 3a

P = 3 * 4√3 = 12√3 (cм²)