Высота цилиндра 8 см диогональ осевого сечения 10 см найти: r, sn, v

Пусть осевое сечение - прямоугольник АВСД, центр окружности основания - точка О.

Дано:

цилиндр

СВ  =  10 см

АС=ВД = 8 см - высота

Найти:

r - ?; V-?; Sп.п - ?

1) по т Пифагора к тр СВД (уг Д =90 град): СД² = СВ² - ВД²;

    СД² = 100-64 = 36 ; СД = 6 (см)

2) СД = 6 см , => ОД =r (цилиндра)  = 6 : 2 = 3 (см)

3) V  = S(осн) * Н

    S(осн)  = π*r²

    S(осн)  = π*9 ≈ 3*9=27 (см²), если π≈3

    V ≈ 27*8≈216 (cм³)

4) S(п.п) =  L (длина окружности основания)  * H (высота)

     L = 2π r

     L ≈ 6 * 3≈18 (cм)  (π≈3)

    S(п.п.)  = 18 * 8 ≈144 (см²)

Из комментариев условие задачи выглядит так:
В прямоугольном треугольники АВС угол В 30°,  угол С 90°, О - центр вписанной окружности. Отрезок ОА=12 . Определить радиус вписанной окружности. 
---------------------------------
Так как угол В равен 30°, угол А равен 60°. 
Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла А.
 АО - биссектриса.
Угол ОАН=30°. 
ОН- радиус  окружности и противолежит углу 30°. 
ОН=АО*sin 30°=12*0,5=6 см
----
Если же, как дано первоначально в условии,  АН=12 см , то
 ОН=АН:tg 60°=12:√3=4√3r=4√3

Это несложно. Смотри:

По теореме катет (сторона, которая вместе с другим катетом образует угол 90 градусов), лежаший ПРОТИВ угла 30 градусов (напротив В), равен половине гипотенузы (гипотенуза - сторона, лежашая напротив угла 9гр.)

Получается, что сторона, лежашая против угла В равна половине гипотенузы. Принимаем катет за Х. Тогда гипотенуза = 2Х.

По Теореме Пифагора:

2Х в квадрате = Х в квадрате + 40 в квадрате. 
Решаешь уравнение, получаешь ответ.

40 во второй степени (в квадрате) = 1600 (лучше, перепроверь)