Найдите площадь полной поверхности и объём прямоугольного параллелепипеда, если стороны основания равны 10 см и 8 см, высота равна 12 см

Объем прямоугольного параллелепипеда 
V = a * b * h, где а и b - стороны основания, h - высота параллелепипеда
V = 10 * 8 * 12 = 960 (см³)

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда
Sполн = 2Sосн + Sбок, где Sосн - площадь основания, Sбок - площадь боковой поверхности параллелепипеда.

Sосн = a * b
Sосн = 10 * 8 = 80 (cм²)

Sбок = P * h, где Р - периметр основания
P = 2 * (a + b)
P = 2 * (10 + 8) = 2 * 18 = 36 (см)
Sбок = 36 * 12 = 432 (см²)

Sполн = 2 * 80 + 432 = 160 + 432 = 592 (cм²)

Подробно. 

Обозначим трапецию АВСD. BC║AD,  AB=CD.

Проведем из вершины С прямую, параллельную ВD, до пересечения с продолжением АD  в точке К. 

Противоположные стороны четырехугольника АСКD лежат на параллельных прямых, поэтому параллельны. АВСD –  параллелограмм и  DK=BC => 

АК=АD+BC. 

По условию АС⊥ВD, поэтому угол АСК равен соответственному ему углу АОD.

∠АСК=90°. 

Диагонали равнобедренной трапеции равны. 

Треугольник АСК - прямоугольный равнобедренный. .

Высота равнобедренного треугольника  в нем  и медиана и равна половине гипотенузы: 

СН=АК:2. 

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований ( на среднюю линию)

126=CH•(BC+AD):2

Из найденного выше (BC+AD):2=CH, то 

126=CH²=>

CH=√126=3√14 см

Из найденного выше средняя линия равнобедренной трапеции с взаимно перпендикулярными диагоналями равна её высоте. 

ответ:3√14 см

Периметр P правильного треугольника равен 36 см, а расстояние от некоторой точки до каждой из сторон треугольника 10см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

Из заданной точки опускаем перпендикуляр h к плоскости треугольника. h - расстояние от этой точки до плоскости треугольника. Так как заданная точка равноудалена от каждой стороны треугольника, то и каждая точка перпендикуляра h тоже равноудалена от каждой стороны треугольника.
На плоскости треугольника точка, равноудаленная от каждой сторон - это центр вписанной окружности.
Радиус вписанной окружности r правильного треугольника
r = P / 6√3
h находим по теореме Пифагора
h = √( 10² - r² )
h = √( 10² - (P / 6√3)² )
h = √( 10² - (36 / 6√3)² ) = 2 √22 ( ≈ 9.38 ) см