Сторони трикутника 50 см, 80 см, 105 см. визначити радіуси вписаного та описаного кіл.

А=50; b=80; с=105. Полупериметр  р=0,5(50+80+105)=117,5
SΔ=√р(р-а)(р-b)(р-с)=√117,5·67,5·37,5·12,5≈1928,2 см².
R=а·b·с/4S≈420000/7712,8≈54,5 см.
r=2SΔ/(а+b+с)≈2·1928,2/(50+80+105)≈3856,4/235≈16,4 см.

В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC все ребра равны 6. 
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер AB и BC. 
б) найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB. 
---------------------- 
Все ребра данной пирамиды равны.  ⇒  все ее грани - равные  правильные треугольники.   
 По условию ВМ=МА; ВN=NC⇒  
  MN - средняя линия ∆ АВС.    
 MN=AC:2=3   
Искомая плоскость - осевое сечение пирамиды,    перпендикулярное её основанию, т.е. ∆ SBH.    
SO- высота пирамиды;   ВН -высота ∆ АВС.    SM=SN- (апофемы равных граней равны.)  ⇒    
∆  MSN- равнобедренный.    
BH⊥ MN  и пересекает её  в точке Р.    
 SP- высота  и медиана ∆ SMN.  
  МР=PN=1,5      
Пусть Е - центр грани SAB.   
 По свойству правильного треугольника его центр - точка   пересечения его медиан ( биссектрис, высот).    
 Точка пересечения  медиан треугольника делит их  в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника ⇒
  SE= 2/3 SM.   
SM=SA*sin(60º)=6*√3/2   
 SM=3√3  SE=2√3  
Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикулярного ей отрезка.   Проведем ЕТ параллельно MN.  
 Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. ⇒   
  ЕТ  перпендикулярен плоскости SBH  
Рассмотрим ∆ SPМ и ∆  SKE (см. второй рисунок - нагляднее).  
ЕК||МР, угол при вершине S общий, угол SEK= углу SMP ⇒    
  ∆ SPМ ~ ∆  SKE  Из их подобия следует отношение 
 SE:SM=EK:MP  
EK=SE*MP:SM  
 EK=2√3)*1,5:3√3  =1   
ответ: расстояние от плоскости  сечения до центра грани SAB равно 1(ед. длины).

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов 
построй квадрат со стороной равной гипотенузе (с)
досторой к каждой стороне квадрата по треугольнику прямоугольному со сторонами "а" и "в" , так чтобы получился квадрат побольше
у которого сторона = а+в
теперь самое интересное
площадь состоти из площади одного кв-та со стороной "с" и площадей 4-х треуголников
общая площадь= с в квадрате + 4*(в*а*1/2)
так же верно и другое
общая площадь = (в+а)в квадрате
сращиваем
получаем "с" в кв+2а*в=а в кв + 2 а*в+ в в кв
"с" в кв=а в кв+в в кв