Урівнобедрений прямокутний трикутник abc вписано квадрат cmnk так, що прямий кут у них спільний , а точка n належить ab.знайти площу квадрата , якщо катет трикутника дорівнює 6 см.дуже треба, розвяжіть будь !

Треугольники MAN и KNB равны по двум катетам.
Следовательно, AN=NB и СN - медиана и высота из прямого угла.
АВ=√(6²+6²)=6√2 см (по Пифагору).
AN=3√2 см
MN=√(AN*NB) - свойство высоты из прямого угла.
MN=a=√18=3√2см.
Тогда а²=18см². - это площадь квадрата MNKC.
ответ: Smnkc=18см².

Второй вариант:
CN - медиана, делит треугольник на 2 равновеликих.
Sabc=6*6=36см²
Sanc=18см² AN=NC, NM - высота и медиана треугольника ANC.
Smnc=9см².
Smnkc=2Smnc=18см².
ответ: Smnkc=18см².

Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.

Доказать это невозможно. Вот мое обоснование. Диагональ AC делит 4-угольник на 2 Δ-ка С одним все ясно. Поскольку ∠OBC=∠OCB, ΔBOC равнобедренный, BO=CO. Но O - середина AC⇒AO=CO=BO, то есть O - центр описанной вокруг ΔABC окружности, откуда этот треугольник прямоугольный. То, что катеты этого треугольника относятся как 2:1, позволяет утверждать, что этот Δ мы знаем с точностью до подобия. 
Про Δ ACD известно только, что AC=CD, то есть если нарисовать окружность с центром в точке C и радиусом CA, то можно лишь утверждать, что точка D находится на этой окружности. Параллельность BC и AD ниоткуда не следует