Дана четырехугольная пирамида mabcd, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами 10 и 20 дм. найдите площадь полной поверхности пирамиды, если боковое ребро md, перпендикулярное плоскости основания, равно 15 дм.

Площадь основания пирамиды S1=10·20=200 дм².
Площадь боковой грани ΔАМD: S2=0,5·10·15=75 дм².
ΔМDС: S3=0,5·20·15=150 дм².
ΔАВМ- прямоугольный, ∠МАВ=90°. АМ²=225+100=325; АМ=√325=5√13 дм
S4=0,5·20·5√13=50√13.
ΔВСМ- прямоугольный, ∠ВСМ=90°. МС²=225+400=625; МС=25 дм.
S5=0,5·25·10=125 дм².
Площадь полной поверхности  
S=S1+S2+S3+S4+S5=200+75+150+125+50√13=(550+50√13) дм².

В треугольнике ABC на основании AC взяты точки P и T так что AP < AT  прямые BP и BT делят медиану AM на три равные части. Найдите AC если PT = 3.

Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношение 2 : 1, считая от вершины. Так как AF:FM=2:1, то F - точка пересечения медиан треугольника ABC. Из точки F проведем прямую FK, параллельную BP. По теореме Фалеса :

PN - средняя линия треугольника FAK, по свойству средней линии треугольника, AP = PK = 2, тогда AC = 2AT = 2 * (2+3) = 10

ответ: 10

Треугольник АВС - прямоугольный, ∠В=90°, поскольку у в прямоугольнике все углы =90°
Сумма углов любого треугольника 180°, в т.ч. и нашего треугольника АВС.
∠А+∠В+∠С=90°
Поскольку по условию задания CAB=2*ACB, значит в треугольнике АВС
∠А=2*∠С, выходит
2*∠С+90°+∠С=180°
3*∠С=90°
∠С=30°.
Значит ∠А=2*∠С=2*30°=60°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС дальше:
АС-гипотенуза, АВ и ВС - это катеты
cos ∠А=АВ/АС
sin ∠А=ВС/АС

cos ∠А=cos 60°=1/2=0,5
sin ∠А=sin 60°=√3/2=0,5√3

cos ∠А=АВ/АС
0,5=АВ/АС, отсюда АВ=0,5АС=0,5*10см=5см

sin ∠А=ВС/АС
0,5√3=ВС/АС, отсюда ВС=0,5АС√3=0,5*10√3=5√3 см

У прямоугольника противоположные стороны равны, значит
АВ=СЕ=5 см
ВС=АЕ=5√3 см

Периметр равен сумме длины всех сторон прямоугольника, то есть
Периметр=АВ+ВС+СЕ+АЕ
Периметр=5+ 5√3+ 5+5√3
Периметр=10+10√3
Периметр=10*(1+√3) см

ответ: периметр прямоугольника = 10*(1+√3) см