Свойство высоты проведённый из вершины прямого угла к гипотенузе прямоугольного треугольника

Она делит изначальный треугольник на два подобных.

Стереотипное решение

Опускаем высоту из В на АС, пусть основание М. Поскольку АВ=ВС, М - середина АС.

В треугольнике АВМ угол М прямой, а cosA = AM/AB = 3/5; АВ = 5, поэтому АМ = 3;

АС = 2*АМ = 6.

 

Как надо решать, если хочется научиться :)))

Высота к основанию делит треугольник на 2 прямоугольных тр-ка, симетричных относительно высоты.

А - угол при основании, раз cosA = 3/5, значит эти треугольники "египетские" (то есть подобные тр-ку со сторонами 3,4,5). Поэтому половина основания 3, а все - 6.

Прямоугольная трапеция АВСД: АВ перпендикулярна ВС и АВ перпендикулярна АД.

Чтобы в трапецию можно было вписать окружность, нужно, чтобы суммы противоположных сторон были бы равны : АВ + СД = ВС + АД.

ВС = 10 - малое основание

АВ = а - одна из боковых сторон, а также высота трапеции

Опустим перпендикуляр СР на основание АД. Тогда получим

АР = 10, СР = АВ = а.

Поскольку угол Д (острый угол трапеции) равен 45°, то

РД = СР = а, а СД = СР/sin 45° = a√2/

Таким образом, сумма АВ + СД = ВС + АД может быть записана через а:

а + а√2 = 10 + (10 + а)

а√2 = 20

а = 20/√2 = 10√2

и

АВ = 10√2

ВС = 10

СД = 20

АД = 10 +10√2

 

Площадь трапеции:

S = 0,5·(ВС + АД)·АВ =

   = 0,5·(10 + 10 +10√2)·10√2 =

  = (20 +10√2)·5√2=

  = 100√2 + 100 =

  = 100·(√2 + 1)

ответ: S = 100·(√2 + 1)