Впрямоугольном треугольнике катеты равны 7 и 9. найдите сумму квадратов длин всех трёх его медиан.

По теореме Пифагора:
АВ = √(АС² + ВС²) = √(49 + 81) = √130

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы.
СК = АВ/2 = √130/2
СК² = 130/4 = 65/2

ΔАСМ по теореме Пифагора:
АМ² = АС² + СМ² = 49 + 81/4 = 277/4

ΔСНВ по теореме Пифагора:
ВН² = СВ² + СН² = 81 + 49/4 = 373/4

СК² + АМ² + ВН² = 65/2 + 277/4 + 373/4 = 780/4 = 195

Предоставлю точно также два решения только другой метод(более рационален). Из вершины D продлим сторону до пересечения на продлении стороны BC, так что AB ║ DE, т.е. ABED — параллелограмм.

∠A = ∠E = 60° (противоположные углы у параллелограмма равны)

Так как AB = CD ⇒ ED = CD ⇒ ∠ECD = ∠CED = ∠CDE = 60°, т.е. треугольник CDE — равносторонний ⇒ CD = CE = ED = 32

Тогда AD = BC + CE = 20 + 32 = 52

P = 20 + 32 + 32 + 52 = 136

Рисунок 2.

Аналогично решению из рисунка 1, достроим до параллелограмма ADEB, AD ║ EB, мы имеем что ΔCEB - равносторонний, т.е. CE = CB = EB = 20, тогда CD = AB - CE = 32 - 20 = 12.

P = 12 + 20 + 20 + 32 = 84

Угло при нижнем основании равнобедренной трапеции меньше 90°, а при верхнем больше 90°, поэтому ∠A = 60° - угол основания.

Нам неизвестно какая сторона боковая, известно только то, что они смежные. Поэтому решим два варианта.

1. AB - нижнее основание.

H₁, H₂ ∈ AB; DH₁ , CH₂ ⊥AB ⇒ DH₁ ║ CH₂

ΔADH₁ = ΔCBH₂ - по гипотенузе и острому углу т.к. трапеция равнобедренная.

AH₁ = H₂B - как соответственные стороны равных Δ.

∠H₂CB = 90° - ∠CBH₂ = 90° - 60° = 30° - как острые улг. в прямоугольном Δ.

H₂B = BC/2 = 20/2=10 - как катет лежащей напротив угла в 30° в прямоугольном Δ.

H₁H₂ = 32 - 10*2 = 12 = т.к. DH₁ ║ CH₂ и DH₁ = CH₂ - как соответственные стороны равных Δ.

P - периметр.

P = AB+ 2BC + CD = 32 + 40 + 12 = 84.

ответ: 84.

2. AB - боковая сторона.

H₁, H₂ ∈ AD; BH₁ , CH₂ ⊥AD ⇒ BH₁ ║ CH₂ ⇒ BH₁ = CH₂ - как параллельные отрезки заключённые между параллельными прямыми, поэтому BCH₂H₁ - прямоугольник ⇒ H₁H₂ = BC = 20.

ΔABH₁ = ΔCDH₂ - по гипотенузе и острому углу т.к. трапеция равнобедренная.

AH₁ = H₂D - как соответственные стороны равных Δ.

∠ABH₁ = 90° - ∠BAH₁ = 90° - 60° = 30° - как острые улг. в прямоугольном Δ.

AH₁ = AB/2 = 32/2=16 - как катет лежащей напротив угла в 30° в прямоугольном Δ.

BC = AD т.к. BH₁ ║ CH₂ и BH₁ = CH₂ - как соответственные стороны равных Δ.

AD = 20 + 16·2 = 52

P - периметр.

P = 2AB + BC + DA = 64 + 20 + 52 = .

ответ: 136.