Углы в и с треугольника авс равны соответственно 73 и 77. найдите вс, если радиус окружности описанной около треугольника равен 9

Третий угол треугольника = 180-73-77 = 30 градусов...
это вписанный угол, опирающийся на дугу ВС
центральный угол, опирающийся на дугу ВС, будет = 60 градусов...
центральный угол --- это угол равнобедренного треугольника с боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности...
а если угол при вершине равнобедренного треугольника = 60, то это треугольник равносторонний...
=> ВС = радиусу описанной окружности = 8

512√3 см²

Объяснение:

Выполним рисунок. Дан ромб АБСД, диагональ АС=32√3, диагональ ВД, т.О - точка пересечения диагоналей.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Значит, найдём его диагонали.

1 вариант решения

Рассмотрим ΔАВД.

Он - равносторонний.

Докажем это утверждение. АВ=АД как стороны ромба, значит ΔАВД-равнобедренный с основанием ВД и равными ∠АВД=∠АДВ.

∠АВД=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°. Сумма внутренних углов треугольника равна 180°, значит ΔДАВ=180-60-60=60°. Все три угла равны, значит доказано, что ΔАВД - равносторонний.

Тогда ВД=АВ=АД.

Т.к. у ромба все стороны равны и их 4, то длина стороны ромба равна периметру ромба, делённому на 4: 128/4=32 см.

Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 32 / 2 = 512√3 см².

2 вариант решения.

Рассмотрим ΔАВО.

Он - прямоугольный с

гипотенузой АВ, равной стороне ромба,

∠ВОА=90° т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом

и катетами АО и ВО, равными соответственно половинам диагоналей АС и ВД, т.к диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам,

∠АВО=60°, т.к. диагональ ромба ВД, является также и бисектрисой ∠АВС=120°.

Найдём ВО. Эту величину можно найти 2-мя путями.

ВО=АВ*cos∠ABO = Р/4 * cos 60° = 32 * 0.5 = 16 см  или

ВО=АО*ctg∠ABO = 16√3 * 1/√3 = 16 см.

Тогда площадь ромба АВСД: АС*ВД/2 = 32√3 * 16 * 2 / 2 = 512√3 см².

Наличие такого количества решений возникло по причине избыточности условия. Эту задачу можно было бы решить не зная величины периметра ромба, либо без длины диагонали. Ключевое условие здесь, это значение угла , равное 120°.

1. Строим перпендикуляр к прямой "а" - одной стороне искомого угла. Для этого отметим на прямой "а" точки А и В и раствором циркуля, равным больше половины отрезка АВ, проводим окружности с центрами в точках А и В. Соединяем точки пересечения окружностей С и D прямой. Угол СОВ равен 90°.
2. Разделим угол СОВ пополам.  Для этого циркулем из вершины О на сторонах угла отложим равные отрезки ОВ и ОЕ . Затем проводим окружности с центрами в точках В и Е равных радиусов, которые пересекутся в точке F. Прямая, соединяющая O и F делит угол COB пополам.  Угол FOB = 45°.
3. Точно так же делим угол СOF пополам. Получаем угол QOF=45°:2=22°30'.
QOB=<QOF+<FOB=22°30'+45°=67°30', что и надо было построить.