Дана правильная шестиугольная пирамида, боковое ребро равно 24 см и составляет с основанием угол 60. найдите периметр основания

Основание этой правильной пирамиды - квадрат. Его площадьSo=24*24=576см².Грани правильной пирамиды - равнобедренные треугольники.Площадь одной грани равна Sгр=(1/2)*24*√(13²-12²)=60см².  (√(13²-12²) =5см - апофема (высота) грани).S=So+4Sгр или S=576+240=816см².

Конус (прямой) образуется от вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Данный конус образован от вращения прямоугольного треугольника АОВ вокруг катета АО. АО является высотой (H= 12см) конуса, ОВ - второй катет - равен радиусу (R= 4 см) основания конуса. АВ - гипотенуза - образующая конуса. 

Плоскость, пересекающая боковую поверхность конуса по кругу, отсекает от первоначального конуса меньший конус с вершиной А. Меньший конус образован от вращения меньшего прямоугольного треугольника AO₁B₁, где AO₁ - катет и высота меньшего конуса (искомое расстояние от вершины до плоскости пересечения), О₁В₁ - второй катет - равен радиусу (r) окружности пересечения бОльшего конуса плоскостью. Длина этой окружности L=6π. АB₁ - образующая меньшего конуса. 
Угол ОАВ совпадает с углом О₁АВ₁. Угол АОВ и угол АО₁В₁ - прямые ⇒ Угол ABO = Углу АВ₁О₁ ⇒ равны тангенсы углов ABO и АВ₁О₁
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему.

                           AO          12
Tg угла ABO= = = 3
                          OB            4

                                AO₁
Tg угла АB₁O₁ = = 3
                                O₁B₁

AO₁ = 3 * O₁B₁
Длина окружности = 2 * π * r = 6π ⇒ r = 3 (cм) ⇒ O₁B₁ = 3 (см)
AO₁ = 3 * 3 = 9 (см)

Расстояние от вершины конуса до сечения равно 9 см

Плоскость сечения перпендикулярна оси конуса, основание конуса перпендикулярно оси конуса - эти плоскости параллельны, их радиусы, проведенные в плоскости осевого сечения - параллельны.  

Осевое сечение конуса - равнобедренный треугольник АВС. 

. ВН - его высота, Радиус НС=4, ОК - радиус сечения. ВО - расстояние от вершины конуса до плоскости сечения. 

Радиус сечения r=6π:2π=3 см

Треугольники ОВК и НВС подобны - прямоугольные с общим острым углом при В.  

Из подобия следует отношение ВН:ВО=СН:КО, 12:ВО=4:3, откуда ВО=36:4=9 см