Дано a(0; 1) b(2; 5) c(4; 1) d(2; -3) довести що abcd ромб i що abcd паралелограм

Все очень просто: Находим координаты отрезков - сторон четырехугольника (векторов) и их длину (модуль):
АВ{2-0;5-1} или АВ{2;4}. |AB|=√(4+16)=√20.
BC{4-2;1-5} или ВС{2;-4}. |BC|=√(4+16)=√20.
CD{2-4;-3-1} или CD{-2;-4}. |CD|=√(4+16)=√20.
AD{2-0;-3-1} или AD{2;-4}. |AD|=√(4+16)=√20.
Мы видим, что противоположные стороны четырехугольника попарно равны, а это признак параллелограмма.
Значит АВСD - параллелограмм, в котором ВСЕ стороны равны, а это признак ромба.
Итак, ABCD - параллелограмм и ромб, что и требовалось доказать.

Т.к. АВСД - ромб, то у него все стороны равны, диагонали пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся по-полам. АО=ОС; ВО=ОД=3см (6/2).

Прямая ОК перпендикулярна плоскости, значит и перпендикулярна всем прямым на этой плоскости. ОК перпендикулярна прямым ВД и АС.

Рассмотрим треугольник АОВ - прямоугольный. По теореме Пифагора

АО= sqrt(АВ^2- ВО^2)=sqrt(25-9)=4см

Опускаем наклонные из точки К к прямым АО и ВО.

Из треугольника АОК- прямоугольного по теореме Пифагора АК=sqrt(64+16)=sqrt(80)= 4sqrt(5)/

Из треугольника ВКО - прямоугольного, ВК= sqrt(64+9)=sqrt(73) см

ОТВЕТ:sqrt(80); sqrt(73).

Пирамида правильная, значит в основании квадрат и боковые ребра равны между собой и равны L. Высота проецируется в центр основания - точку пересечения диагоналей квадрата - О.
SO - высота пирамиды, ∠CSD = α - плоский угол при вершине.
Если конус вписан в пирамиду, то его высота совпадает с высотой пирамиды, а основание - круг, вписанный в основание пирамиды.

ΔCSD: по теореме косинусов
CD² = CS² + DS² - 2CS·DS·cosα = L² + L² - 2·L·L·cosα = 2L²·(1 - cosα)
CD = L√(2(1 - cosα))
Радиус круга, вписанного в квадрат, равен половине стороны квадрата:
r = CD/2 = L√(2(1 - cosα)) / 2 - радиус основания конуса.
CO = AC/2 = CD√2/2 = 2L√(1 - cosα)/4 = L√(1 - cosα)
Из треугольника COS по теореме Пифагора
SO = √(SC² - OC²) = √(L² - L²(1 - cosα)) = L√cosα
Vц = 1/3 · πr² · SO = 1/3 · π ·L²(2(1 - cosα))/4 · L√cosα = πL³ (1 - cosα)√cosα/6
Воспользуемся формулой синуса половинного угла: 2sin²(α/2) = 1 - cosα:
Vц = πL³sin²(α/2)√cosα / 3