Докажите что четырехугольник abcd есть прямоугольником если а(-1; 2) в(-2; 1) с(1: -2) д(2; -1)

Достаточно доказать, что вектора АВ и ВС, АВ и AD, CD и ВС перпендикулярны
Для этого найдем координаты векторов:
АВ{Xb-Xa;Yb-Ya} или АВ{-2-(-1);1-2}. AB{-1;-1}
BC{1-(-2);-2-1} или ВС{3;-3}.
AD{2-(-1);-1-2} или AD{3;-3}.
СD{2-1;-1-(-2)} или CD{1;1}.
Вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
(AB*BC)=Xab*Xbc+Yab*Ybc = -3+3 =0. АВ перпендикулярен ВС.
(AB*AD)=Xab*Xad+Yab+Yad=-3+3=0. АВ перпендикулярен AD.
(BC*CD)=Xbc*Xcd+Ybc*Ycd}=3-3=0. CD перпендикулярен ВС.
Четырехугольник АВСD - прямоугольник.

Учитывая то, что против большего угла лежит большая сторона, получается, что против угла в 45 градусов лежит большая боковая сторона. Опустив высоту на основание треугольник разделится на два прямоугольных, один из которых будет равнобедреный, так как угол при основании 45 градусов. В этом тругольнике катеты будут равны по 20 см. 

Во втором прямоугольном треугольник нам известны два катета, а нужно узнать гипотенузу. Пользуемся теоремой Пифагора.

Это как раз та сторона, которую мы ищем.

ответ: 29см.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными.

В кубе это боковые ребра и ребра оснований, не имеющие общих точек с боковыми ребрами.

АА1 и CD - скрещивающиеся ребра.

Отрезок, соединяющий середины этих ребер - отрезок РН, где точка Р - середина ребра АА1, а точка Н - середина ребра CD. Тогда по Пифагору:

АН = √(AD²+DH²) = √(а²+(а²/4)) =а√5/2.

РН = √(AР²+АH²) = √(а²/4+5а²/4) =а√6/2.

ответ: РН = а√6/2  ед.