Докажите, что лучи, векторы m=-i+j и n=i+j взаимно перпендикулярны.

Дано разложение векторов m и n по базису. Значит координаты этих векторов:
m{-i; j} и n{i; j}. причем i и j - единичные векторы.
Мы знаем, что векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение векторов: (m,n)=Xm*Xn+Ym*Yn или
(m,n)=-i*i+i*j= -i²+j² = -1+1=0.
Вектора m и n перпендикулярны, так как их скалярное произведение равно 0, что и требовалось доказать.

Дано: ΔАВС - равнобедренный, АК = КВ = ВМ = МС (т. К и М - середины боковых сорон АВ и СВ соответственно), ВD - медиана.

Доказать: ΔBKD = ΔBMD.

Доказательство: есть два треугольника BKD и BMD, у которых сторона BD - общая. стороны KB и BM - равны, т.к. ΔABC - равнобедренный, а точки K и M - середины сторон АВ и СВ соответственно. Т.к. BD - медиана равнобедренного ΔABC, то ∠KBD = ∠DBM. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны), треугольники BKD и BMD равны, т.к. KB = BM, BD - общая сторона, ∠KBD = ∠DBM.

Чтд.

1) Пусть дано ΔАВС - равнобедренный (АВ = ВС). 
По условию дано угол 42 °; 
а) если этот угол - это ∆B, угол при вершине равнобедренного треугольника, то 
A + B + C = 180 °; 
А + C + 42 ° = 180 °; A + C = 180 ° - 42 °; A = C = 138 °. 
A = C = 138 °: 2 = 69 °; 
б) если этот угол - это угол при ocновии равнобедренного треугольника, 
то A = C = 42 °. A + B + C = 180 °; B = 180 ° - (42 ° + 42 °); B = 96 °. ответ: a) 42 °; 69 °; 69 °; 6) 42 °; 42 °; 96 °. 
2) Пусть дано АВС - равнобедренный (AB = ВС). 
По условию дано угол 94 °. Этот угол не может быть углом при основании, так 
как A = C тогда A + C = 188 °> 180 °. Итак, B = 94 °. 
A + B + C = 180 °; A + C = 180 ° - 94 °; A + C = 86 °; 
A = C = 86 °: 2 = 43 °. 
ответ: 94 °; 43 °; 43 °.